Dany jest sześcian ścięty o krawędzi długości 1 cm. 

Naszkicujmy jedną ścianę tego sześcianu: 

Korzystając ze wzoru na długość przekątnej kwadratu mamy:

$x\sqrt{2}=1\mid :\sqrt{2}$   

$x=\frac{\sqrt{2}}{2}\left[\text{cm}\right]$  

---

Z narożników sześcianu wycięto ostrosłupy i otrzymano sześcian ścięty. Naszkicujmy wycięty ostrosłup:

Odcinek 2x stanowi ²/₃ długości wysokości trójkąta równobocznego ABC. Korzystając ze wzoru na długość wysokości trójkąta równobocznego mamy:

$2x=\frac{2}{3}h=\frac{2}{3}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{3}$  

---

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta AOS mamy: 

$H^2+{\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right)}^2={\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)}^2$  

$H^2+\frac{1}{3}=\frac{1}{2}$   

$H^2=\frac{3}{6}-\frac{2}{6}$  

$H^2=\frac{1}{6}\wedge H>0$  

$H=\frac{\sqrt{6}}{6}\left[\text{cm}\right]$  

---

Wyznaczmy objętość tego ostrosłupa. Mamy:

$V_{\text{o}}=\frac{1}{3}\cdot P_{\Delta }\cdot H=\frac{1}{3}\cdot \frac{\sqrt{3}}{4}\cdot \frac{\sqrt{6}}{6}=\frac{\sqrt{18}}{72}=\frac{3\sqrt{2}}{72}=\underline{\frac{\sqrt{2}}{24}\left[{\text{cm}}^2\right]}$  

---

Obliczmy objętość sześcianu. Mamy:

$V_{\text{sz}}={\left(\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}+1\right)}^3={\left(\sqrt{2}+1\right)}^3=\dots$  

Korzystając ze wzoru skróconego mnożenia na sześcian sumy mamy:

$\dots =2\sqrt{2}+3\cdot 2+3\cdot \sqrt{2}+1=\underline{\left(5\sqrt{2}+7\right)\left[{\text{cm}}^2\right]}$  

---

Wyznaczmy objętość sześcianu ściętego. Mamy:

$V=V_{\text{sz}}-8V_{\text{o}}=5\sqrt{2}+7-8\cdot \frac{\sqrt{2}}{24}=5\sqrt{2}+7-\frac{\sqrt{2}}{3}=$  

$=\frac{15\sqrt{2}}{3}+7-\frac{\sqrt{2}}{3}=\frac{14\sqrt{2}}{3}+7=\underline{\underline{7\left(1+\frac{2}{3}\sqrt{2}\right)\left[{\text{cm}}^3\right]}}$