Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny, którego krawędź podstawy ma długość 6 cm. Wszystkie jego ściany boczne są trójkątami równobocznymi, zatem krawędź boczna również ma długość 6 cm. 

---

a)

Obliczmy długość wysokości |SF| ściany bocznej. Korzystając ze wzoru na długość wysokości trójkąta równobocznego mamy: 

$\left|SF\right|=\frac{6\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3}\left[\text{cm}\right]$     

Wyznaczmy długość wysokości tego ostrosłupa. Korzystając z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta OFS mamy:

${\left|SO\right|}^2+{\left|OF\right|}^2={\left|FS\right|}^2$  

${\left|SO\right|}^2+3^2={\left(3\sqrt{3}\right)}^2$  

${\left|SO\right|}^2+9=27$  

${\left|SO\right|}^2=18\left|SO\right|>0$  

$\left|SO\right|=3\sqrt{2}\left[\text{cm}\right]$  

Wyznaczmy pole otrzymanego przekroju. Mamy:

$P=\frac{1}{2}\cdot \left|EF\right|\cdot \left|SO\right|=\frac{1}{2}\cdot 6\cdot 3\sqrt{2}=\underline{\underline{9\sqrt{2}\left[{\text{cm}}^2\right]}}$

---

b)

Korzystając ze wzoru na długość przekątnej kwadratu wiemy, że:

$\left|DB\right|=6\sqrt{2}\left[\text{cm}\right]$   

Z przykładu a) wiemy, że wysokość trójkąta będącego ścianą boczną wynosi 3√3 cm. Trójkąty będące ścianami bocznymi są trójkątami równobocznymi, zatem również:

$\left|BG\right|=\left|DG\right|=3\sqrt{3}\left[\text{cm}\right]$  

Obliczmy długość wysokości h trójkąta DBG. Korzystając z twierdzenia Pitagorasa mamy: 

$h^2+{\left(\frac{1}{2}\left|DB\right|\right)}^2={\left|BG\right|}^2$  

$h^2+{\left(3\sqrt{2}\right)}^2={\left(3\sqrt{3}\right)}^2$  

$h^2+18=27$  

$h^2=9\wedge h>0$  

$h=3\left[\text{cm}\right]$  

Wyznaczmy pole otrzymanego przekroju. Mamy:

$P=\frac{1}{2}\cdot \left|DB\right|\cdot h=\frac{1}{2}\cdot 6\sqrt{2}\cdot 3=\underline{\underline{9\sqrt{2}\left[{\text{cm}}^2\right]}}$  

---

c)

Odcinek IH łączy środki ramion trójkąta równobocznego ADS o boku długości 6 cm, zatem

$\left|IH\right|=\frac{1}{2}\cdot 6=3\left[\text{cm}\right]$   

Wiemy również, że

$\left|IB\right|=3\sqrt{3}\left[\text{cm}\right]$  

Rysunek:

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa mamy:

$h^2+{\left(\frac{3}{2}\right)}^2={\left(3\sqrt{3}\right)}^2$  

$h^2+\frac{9}{4}=27$  

$h^2=\frac{108}{4}-\frac{9}{4}$  

$h^2=\frac{99}{4}\wedge h>0$  

$h=\frac{3\sqrt{11}}{2}$  

Wyznaczmy pole otrzymanego przekroju. Mamy:

$P=\frac{\left(6+3\right)\cdot \frac{3\sqrt{11}}{2}}{2}=\frac{9\cdot \frac{3\sqrt{11}}{2}}{2}=\underline{\underline{\frac{27\sqrt{11}}{4}\left[{\text{cm}}^2\right]}}$