a)

Rysunek: 

Zauważmy, że

$\left|EF\right|=3\sqrt{2}$

oraz

$\left|GC\right|=\frac{3}{2}\sqrt{2}$   

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta GCC₁ mamy:

$h^2=6^2+{\left(\frac{3}{2}\sqrt{2}\right)}^2$

$h^2=36+\frac{9}{2}$   

$h^2=\frac{81}{2}\wedge h>0$

$h=\frac{9}{\sqrt{2}}$

$h=\frac{9\sqrt{2}}{2}\left[\text{cm}\right]$

Obliczmy pole trójkąta FEC₁. Mamy:

$P=\frac{1}{2}\cdot 3\sqrt{2}\cdot \frac{9\sqrt{2}}{2}=\underline{\underline{13,5\left[{\text{cm}}^2\right]}}$     

---

b)

Rysunek: 

Punkty G i H są środkami krawędzi - odpowiednio - DD₁ i BB₁. 

Zauważmy, że odcinki AH, HC₁, GC₁, AG to przeciwprostokątne w trójkątach prostokątnych o przyprostokątnych długości 3 cm i 6 cm, więc:

$\left|AH\right|=\left|H{C}_1\right|=\left|G{C}_1\right|=\left|AG\right|$  

Z powyższej równości wynika, że czworokąt AHC₁G jest rombem.

Skoro punkty G i H są środkami krawędzi DD₁ i BB₁, to 

$\left|GH\right|=\left|DB\right|=6\sqrt{2}\left[\text{cm}\right]$  

Odcinek AC₁ jest przekątną sześcianu. Korzystając ze wzoru na długość przekątnej sześcianu wiemy, że

$\left|A{C}_1\right|=6\sqrt{3}\left[\text{cm}\right]$  

Obliczmy pole tego przekroju. Korzystając ze wzoru na pole rombu mamy:

$P=\frac{1}{2}\cdot 6\sqrt{2}\cdot 6\sqrt{3}=\frac{1}{2}\cdot 36\sqrt{6}=\underline{\underline{18\sqrt{6}\left[{\text{cm}}^2\right]}}$  

---

c)

Rysunek:

Powstały przekrój DBFE jest trapezem równoramiennym. 

Wiemy, że kąt PSG ma miarę 60^o. 

Rozważmy trójkąt prostokątny SPG. Korzystając ze związku między długościami boków w trójkącie o kątach 30^o, 60^o, 90^o mamy:

$\left|SP\right|=\frac{6}{\sqrt{3}}=2\sqrt{3}\left[\text{cm}\right]$

oraz

$h=\left|SG\right|=4\sqrt{3}\left[\text{cm}\right]$

Naszkicujmy kwadrat ABCD:

Zauważmy, że trójkąty KRD i BLQ to trójkąty prostokątne równoramienny, więc

$\left|DK\right|=\left|LB\right|=2\sqrt{3}\left[\text{cm}\right]$

Wyznaczmy długość odcinka KL. Mamy:

$\left|KL\right|=\left(6\sqrt{2}-4\sqrt{3}\right)\left[\text{cm}\right]$   

Skoro |KL|=|RQ|=|EF|, to mamy:

$\left|EF\right|=\left(6\sqrt{2}-4\sqrt{3}\right)\left[\text{cm}\right]$  

Obliczmy pole trapezu DBFE. Korzystając ze wzoru na pole trapezu mamy:

$P=\frac{\left(6\sqrt{2}+6\sqrt{2}-4\sqrt{3}\right)\cdot 4\sqrt{3}}{2}=\left(12\sqrt{2}-4\sqrt{3}\right)\cdot 2\sqrt{3}=24\sqrt{6}-24=\underline{\underline{24\left(\sqrt{6}-1\right)\left[{\text{cm}}^2\right]}}$