Rysunek pomocniczy:

---

Oznaczmy przez $a$ długość krawędzi czworościanu $ABCS$.

---

Rozważmy trójkąt $ABD$. 

Zauważmy, że jest to trójkąt równoramienny, ponieważ $\left|AD\right|=\left|BD\right|$.

Punkt $D$ jest środkiem krawędzi $CS$, tym samym długości odcinków $BD$  i $AD$ są równe długości wysokości trójkąta równobocznego o boku długości $a$, czyli 

$\left|AD\right|=\left|BD\right|=\frac{a\sqrt{3}}{2}$

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie $BED$, dostajemy 

${\left(\frac{1}{2}a\right)}^2+h^2={\left(\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)}^2$

$\frac{a^2}{4}+h^2=\frac{3a^2}{4}$

$h^2=\frac{a^2}{2}\text{i}h>0$

czyli 

$h=\frac{a}{\sqrt{2}}=\frac{a\sqrt{2}}{2}$

---

Rozważmy trójkąt $CED$.

Zauważmy, że 

${\left|DE\right|}^2+{\left|DC\right|}^2=h^2+{\left(\frac{1}{2}a\right)}^2=\frac{a^2}{2}+\frac{a^2}{4}=\frac{3a^2}{4}$

${\left|CE\right|}^2={\left(\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)}^2=\frac{3a^2}{4}$

czyli 

${\left|DE\right|}^2+{\left|DC\right|}^2={\left|CE\right|}^2$

zatem  na mocy twierdzenia odwrotnego do twierdzenia Pitagorasa dostajemy, że trójkąt $CED$ jest prostokątny. 

Korzystając z określenia funkcji trygonometrycznych w trójkącie prostokątnym dostajemy, że 

$\cos \alpha =\frac{\left|DE\right|}{\left|CE\right|}=\frac{\frac{a\sqrt{2}}{2}}{\frac{a\sqrt{3}}{2}}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}=\underline{\underline{\frac{\sqrt{6}}{3}}}$