Przyjmujemy, że kąt 𝛼 leży na przeciwko boku a, kąt 𝛽 leży na przeciwko boku b, a kąt 𝛾 leży na przeciwko boku c.

Oznaczamy przez:

$a=\left|BC\right|,b=\left|AC\right|$  

Należy obliczyć stosunek:

$\frac{\left|AC\right|}{\left|BC\right|}=\frac{b}{a}$

Z treści zadania wiemy, że:

$\sin \alpha =\frac{1}{3},\sin \beta =\frac{\sqrt{2}}{3}$   

---

Wobec tego korzystając z twierdzenia sinusów dostajemy: 

$\frac{a}{\sin \alpha }=2R$

$\frac{a}{\frac{1}{3}}=2R$    

$3a=2R\mid :3$

$a=\frac{2}{3}R$

---

Wiemy również, że:

$\frac{b}{\sin \beta }=2R$

$\frac{b}{\frac{\sqrt{2}}{3}}=2R$    

$\frac{3b}{\sqrt{2}}=2R\mid \cdot \frac{\sqrt{2}}{3}$

$b=\frac{2\sqrt{2}}{3}R$

---

Obliczamy wartość szukanego stosunku:

$\frac{\left|AC\right|}{\left|BC\right|}=\frac{b}{a}=\frac{\frac{2\sqrt{2}}{3}R}{\frac{2}{3}R}=\frac{2\sqrt{2}}{3}\cdot \frac{3}{2}=\sqrt{2}$