Wprowadźmy następujące oznaczenia: 

$x$- pierwszy ze składników; 

$y$- drugi ze składników.

---

Wiadomo, że 

$x+y=8$

skąd otrzymujemy zależność

$y=8-x$

---

Wyznaczamy sumę sześcianów liczb $x$ i $y$, otrzymujemy 

$x^3+y^3=x^3+{\left(8-x\right)}^3=x^3+512-192x+24x^2-x^3=24x^2-192x+512$ 

---

Zapisujemy funkcję $f$, która każdej liczbie rzeczywistej $x$ przyporządkowuje wartość powyższego wyrażenia 

$f\left(x\right)=24x^2-192x+512,x\in \mathbb{R}$

Wyznaczymy wartość najmniejszą tej funkcji. 

Zauważmy, że współczynnik przy $x^2$jest dodatni, czyli ramiona paraboli będącej wykresem tej funkcji są skierowane "do góry". Oznacza to, że funkcja $f$ przyjmuje wartość najmniejszą w wierzchołku. 

Wyznaczamy pierwszą współrzędną wierzchołka wykresu tej funkcji 

$x_W=\frac{-\left(-192\right)}{2\cdot 24}=\frac{192}{48}=4$

czyli funkcja $f$ przyjmuje wartość najmniejszą dla $x=4$.

Skąd mamy 

 $y=8-x=8-4=4$

---

Odp. $8=4+4$.