a)

Dana jest funkcja:

$f\left(x\right)=x^3,x_0=-2$

Obliczamy pochodną funkcji f w punkcie x₀ na podstawie definicji:

$$\begin{gathered} f^{\prime }\left(-2\right)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f\left(-2+h\right)-f\left(-2\right)}{h}= \\ =\underset{h\to 0}{\lim }\frac{{\left(-2+h\right)}^3-{\left(-2\right)}^3}{h}= \\ =\underset{h\to 0}{\lim }\frac{h^3-6h^2+12h-8+8}{h}= \\ =\underset{h\to 0}{\lim }\frac{h\left(h^2-6h+12\right)}{h}= \\ =\underset{h\to 0}{\lim }\left(h^2-6h+12\right)=12 \end{gathered}$$

---

b)

Dana jest funkcja:

$f\left(x\right)=x^2-2x,x_0=1$

Obliczamy pochodną funkcji f w punkcie x₀ na podstawie definicji:

$$\begin{gathered} f^{\prime }\left(1\right)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f\left(1+h\right)-f\left(1\right)}{h}= \\ =\underset{h\to 0}{\lim }\frac{{\left(1+h\right)}^2-2\left(1+h\right)-1^2+2}{h}= \\ =\underset{h\to 0}{\lim }\frac{1+2h+h^2-2-2h-1+2}{h}= \\ =\underset{h\to 0}{\lim }\frac{h^2}{h}=\underset{h\to 0}{\lim }h=0 \end{gathered}$$

---

c)

Dana jest funkcja:

$f\left(x\right)=\frac{x-1}{x},x_0=-1$

Obliczamy pochodną funkcji f w punkcie x₀ na podstawie definicji:

$$\begin{gathered} f^{\prime }\left(-1\right)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f\left(-1+h\right)-f\left(-1\right)}{h}= \\ =\underset{h\to 0}{\lim }\frac{\frac{-1+h-1}{-1+h}-\frac{-1-1}{-1}}{h}= \\ =\underset{h\to 0}{\lim }\frac{\frac{-2+h}{-1+h}-2}{h}= \\ =\underset{h\to 0}{\lim }\frac{\frac{h-2}{h-1}-\frac{2\left(h-1\right)}{h-1}}{h}= \\ =\underset{h\to 0}{\lim }\frac{\frac{h-2-2h+2}{h-1}}{h}= \\ =\underset{h\to 0}{\lim }\frac{\frac{-h}{h-1}}{h}= \\ =\underset{h\to 0}{\lim }\frac{-h}{h-1}\cdot \frac{1}{h}= \\ =\underset{h\to 0}{\lim }\frac{-1}{h-1}= \\ \frac{-1}{-1}=1 \end{gathered}$$

---

d)

Dana jest funkcja:

$f\left(x\right)=\frac{x}{x^2-1},x_0=0$

Obliczamy pochodną funkcji f w punkcie x₀ na podstawie definicji:

$$\begin{gathered} f^{\prime }\left(0\right)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f\left(0+h\right)-f\left(0\right)}{h}= \\ =\underset{h\to 0}{\lim }\frac{\frac{h}{h^2-1}-\frac{0}{0^2-1}}{h}= \\ =\underset{h\to 0}{\lim }\frac{\frac{h}{h^2-1}}{h}= \\ =\underset{h\to 0}{\lim }\frac{h}{h^2-1}\cdot \frac{1}{h}= \\ =\underset{h\to 0}{\lim }\frac{1}{h^2-1}= \\ =\frac{1}{-1}=-1 \end{gathered}$$