Z treści zadania wiemy, że suma:

$S=a_1+a_2+a_3+\dots$

jest sumą szeregu geometrycznego.

Wiemy również, że:

$a_1=\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{\left(1+2+\dots +n\right)\cdot 2}{n\left(n-1\right)}$

oraz

$q=\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{\left(1-n\right)\left(2-n\right)\left(3-n\right)}{\left(1-2n\right)\left(1+n\right)\left(3-n\right)}$

---

Zauważmy, że suma:

$1+2+\dots +n$

jest sumą ciągu arytmetycznego n początkowych wyrazów, gdzie r=1, więc:

$1+2+\dots +n=\frac{1+n}{2}\cdot n=\frac{n+n^2}{2}$

Możemy zapisać, że:

$a_1=\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{\frac{n+n^2}{2}\cdot 2}{n\left(n-1\right)}=\underset{n\to =\infty }{\lim }\frac{n+n^2}{n^2-n}=$

$=\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{n^2\left(\frac{1}{n}+1\right)}{n^2\left(1-\frac{1}{n}\right)}=1$  

---

Zauważmy, że:

$q=\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{\left(1-n\right)\left(2-n\right)\left(3-n\right)}{\left(1-2n\right)\left(1+n\right)\left(3-n\right)}=$

$=\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{\left(1-n\right)\left(2-n\right)}{\left(1-2n\right)\left(1+n\right)}=$   

$=\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{n^2\left(\frac{1}{n}-1\right)\left(\frac{2}{n}-1\right)}{n^2\left(\frac{1}{n}-2\right)\left(\frac{1}{n}+1\right)}=$  

$=\frac{\left(0-1\right)\left(0-1\right)}{\left(0-2\right)\left(0+1\right)}=\frac{1}{-2}=-\frac{1}{2}$  

---

Zauważamy, że szereg geometryczny podany w treści zadania jest zbieżny, ponieważ:

$\left|q\right|=\left|-\frac{1}{2}\right|=\frac{1}{2}<1$      

Wobec tego, aby obliczyć sumę szeregu geometrycznego korzystamy ze wzoru na sumę:

$S=a_1+a_2+a_3+\dots =\frac{a_1}{1-q}=\frac{1}{1+\frac{1}{2}}=\frac{1}{\frac{3}{2}}=1\cdot \frac{2}{3}=\underline{\underline{\frac{2}{3}}}$