a)

Z treści zadania wiemy, że ciąg (a_n) jest nieskończonym ciągiem geometrycznym, gdzie:

$a_1=-4,q=-\frac{1}{2}$  

Zapiszmy wzór ogólny ciągu: 

$a_n=-4\cdot {\left(-\frac{1}{2}\right)}^{n-1}=-4\cdot {\left(-\frac{1}{2}\right)}^n\cdot {\left(-\frac{1}{2}\right)}^{-1}=$

$=-4\cdot \left(-2\right)\cdot {\left(-\frac{1}{2}\right)}^n=8\cdot {\left(-\frac{1}{2}\right)}^n$  

Obliczamy granicę ciągu:

$\underset{n\to +\infty }{\lim }{a}_n=\underset{n\to +\infty }{\lim }8\cdot {\left(-\frac{1}{2}\right)}^n=8\cdot 0=0$   

Zauważmy, że ciąg sum częściowych S_n jest zbieżny i ma granicę, ponieważ:

$\left|q\right|=\left|-\frac{1}{2}\right|=\frac{1}{2}<1$  

Obliczamy granicę:

$\underset{n\to +\infty }{\lim }{S}_n=\frac{-4}{1-\left(-\frac{1}{2}\right)}=$   

$=\frac{-4}{\frac{3}{2}}=-4\cdot \frac{2}{3}=-\frac{8}{3}$  

---

b)

Z treści zadania wiemy, że ciąg (a_n) jest nieskończonym ciągiem geometrycznym, gdzie:

$a_1=-100,q=0,01$  

Zapiszmy wzór ogólny ciągu: 

$a_n=-100\cdot {\left(0,01\right)}^{n-1}=-100\cdot {\left(\frac{1}{100}\right)}^n\cdot {\left(\frac{1}{100}\right)}^{-1}=$

$=-100\cdot 100\cdot {\left(\frac{1}{100}\right)}^n=-10000\cdot {\left(\frac{1}{100}\right)}^n$  

Obliczamy granicę ciągu:

$\underset{n\to +\infty }{\lim }{a}_n=\underset{n\to +\infty }{\lim }-10000\cdot {\left(\frac{1}{100}\right)}^n=-1000\cdot 0=0$   

Zauważmy, że ciąg sum częściowych S_n jest zbieżny i ma granicę, ponieważ:

$\left|q\right|=\left|0,01\right|=0,01<1$  

Obliczamy granicę:

$\underset{n\to +\infty }{\lim }{S}_n=\frac{-100}{1-0,01}=\frac{-100}{0,99}=$    

$=-100\cdot \frac{100}{99}=-\frac{10000}{99}=-101\frac{1}{99}$  

---

c)

Z treści zadania wiemy, że ciąg (a_n) jest nieskończonym ciągiem geometrycznym, gdzie:

$a_1=16,q=-\frac{1}{4}$  

Zapiszmy wzór ogólny ciągu: 

$a_n=16\cdot {\left(-\frac{1}{4}\right)}^{n-1}=16\cdot {\left(-\frac{1}{4}\right)}^n\cdot {\left(-\frac{1}{4}\right)}^{-1}=$

$=16\cdot \left(-4\right)\cdot {\left(-\frac{1}{4}\right)}^n=-64\cdot {\left(-\frac{1}{4}\right)}^n$  

Obliczamy granicę ciągu:

$\underset{n\to +\infty }{\lim }{a}_n=\underset{n\to +\infty }{\lim }\left(-64\cdot {\left(-\frac{1}{4}\right)}^n\right)=-64\cdot 0=0$   

Zauważmy, że ciąg sum częściowych S_n jest zbieżny i ma granicę, ponieważ:

$\left|q\right|=\left|-\frac{1}{4}\right|=\frac{1}{4}<1$  

Obliczamy granicę:

$\underset{n\to +\infty }{\lim }{S}_n=\frac{16}{1-\left(-\frac{1}{4}\right)}=\frac{16}{\frac{5}{4}}=$   

$=16\cdot \frac{4}{5}=\frac{64}{5}=12,8$