Z treści zadania wiemy, że:

$a_n=1+5+5^2+\dots +5^n$

Zauważamy, że ciąg a_n jest sumą ciągu geometrycznego, gdzie: 

$b_1=1,b_n=5^n,q=5$

Zatem korzystając ze wzoru na sumę początkowych wyrazów w ciągu geometrycznym dostajemy:

$1+5+5^2+\dots +5^n=1\cdot \frac{1-5^n}{1-5}=\frac{1-5^n}{-4}=\frac{5^n-1}{4}$    

Wobec tego:

$\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{a_n}{a_{n+1}}=\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{\frac{5^n-1}{4}}{\frac{5^{n+1}-1}{4}}=$  

$=\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{5^n-1}{5^n\cdot 5-1}=$  

$=\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{5^n\left(1-\frac{1}{5^n}\right)}{5^n\left(5-\frac{1}{5^n}\right)}=$

$=\frac{1-0}{5-0}=\underline{\underline{\frac{1}{5}}}$