Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku poniżej:

---

Z treści zadania wiemy, że:

$h+a=12$

więc:

$h=12-a$

---

Założenia:

$12-a>0\wedge a>0$

$a<12$

$a\in \left(0,12\right)$

---

Zauważamy, że trójkąt FBC i trójkąt AED jest trójkątem prostokątnym równoramiennym, więc:

$\left|AE\right|=\left|FB\right|=h$

---

Możemy zapisać, że:

$b=a-2h=a-2\left(12-a\right)=a-24+2a=3a-24$

---

Zapisujemy wzór funkcji P opisującej pole trapezu:

$P\left(a\right)=\frac{\left(a+3a-24\right)\left(12-a\right)}{2}=\frac{\left(4a-24\right)\left(12-a\right)}{2}=\frac{2\left(2a-12\right)\left(12-a\right)}{2}=$

$=\left(2a-12\right)\left(12-a\right)=24a-2a^2-144+12a=-2a^2+36a-144$

Zauważmy, że funkcja opisująca pole trapezu jest funkcją kwadratową, której wykresem jest 
parabola ramionami skierowana w dół, zatem funkcja P przyjmuje wartość największą w
wierzchołku paraboli.

Wobec tego:

$a=x_w=\frac{-36}{2\cdot \left(-2\right)}=\frac{36}{4}=\underline{\underline{9}}$

czyli:

$b=3a-24=3\cdot 9-24=27-4=\underline{\underline{3}}$    

---

Obliczamy wysokość trapezu:

$h=12-a=12-9=3$

wobec tego:

$c=\sqrt{2}=\underline{\underline{3\sqrt{2}}}$   

---

Wnioskujemy, że trapez powinien mieć boki długości: 9, 3, 3√2, 3√2.