Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku poniżej: 

---

Korzystając z funkcji trygonometrycznej sinus w trójkącie prostokątnym AGD dostajemy:

$\sin {60}^{\circ }=\frac{2r}{8}$

$\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{r}{4}$

$4\sqrt{3}=2r\mid :2$

$r=2\sqrt{3}$

---

Trapez ABCD możemy podzielić na dwa identyczne trapezy prostokątne.
Wtedy okrąg o promieniu r jest wpisany w trapez AEFD.

Wobec tego:

$\left|AE\right|+\left|DF\right|=\left|AD\right|+\left|EF\right|=8+2r=8+2\cdot 2\sqrt{3}=8+4\sqrt{3}$

Obliczamy pole trapezu AEFD:

$P_{AEFD}=\frac{\left(\left|AE\right|+\left|DF\right|\right)\cdot \left|EF\right|}{2}=\frac{\left(8+4\sqrt{3}\right)\cdot 2\cdot 2\sqrt{3}}{2}=$

$=\left(8+4\sqrt{3}\right)\cdot 2\sqrt{3}=16\sqrt{3}+24$    

Skoro:

$P_{AEFD}=P_{EBCF}$

to:

$P_{ABCD}=2\cdot P_{AEFD}=2\cdot \left(16\sqrt{3}+24\right)=32\sqrt{3}+48=\underline{\underline{16\left(2\sqrt{3}+3\right)}}$