a)

Przyjrzyjmy się rysunkowi: 

Zauważamy, że:

$\left|\sphericalangle ECB\right|={45}^{\circ }$

wobec tego trójkąt EBC jest połową kwadratu, zatem:

$\left|EB\right|=4$

oraz

$\left|BC\right|=\left|EB\right|\sqrt{2}=4\sqrt{2}$  

wnioskujemy, że:

$\left|AB\right|=4+4=8$

Obliczamy pole trapezu:

$P=\frac{\left(\left|AB\right|+\left|DC\right|\right)\cdot \left|AD\right|}{2}=\frac{\left(8+4\right)\cdot 4}{2}=12\cdot 2=24$     

Obliczamy obwód trapezu:

$L=8+4+4+4\sqrt{2}=16+4\sqrt{2}$  

---

b)

Przyjrzyjmy się rysunkowi:

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie prostokątnym ABC dostajemy:

$8^2+{\left|BC\right|}^2={17}^2$

$64+{\left|BC\right|}^2=289\mid -64$

${\left|BC\right|}^2=225\mid \sqrt{},\left|BC\right|>0$

$\left|BC\right|=15$

Zauważamy, że:

$\left|AE\right|=\left|BC\right|=15$   

Korzystając z funkcji trygonometrycznej tangens w trójkącie prostokątnym AED dostajemy:

$\text{tg}{30}^{\circ }=\frac{\left|AE\right|}{\left|DE\right|}$

$\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{15}{\left|DE\right|}$

$\sqrt{3}\left|DE\right|=45\mid :\sqrt{3}$

$\left|DE\right|=\frac{45}{\sqrt{3}}\cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=\frac{45\sqrt{3}}{3}=15\sqrt{3}$

Wobec tego:

$\left|CD\right|=8+15\sqrt{3}$  

Korzystając z funkcji trygonometrycznej sinus w trójkącie prostokątnym AED dostajemy:

$\sin {30}^{\circ }=\frac{\left|AE\right|}{\left|AD\right|}$

$\frac{1}{2}=\frac{15}{\left|AD\right|}$

$\left|AD\right|=30$

Obliczamy pole trapezu:

$P=\frac{\left(\left|AB\right|+\left|CD\right|\right)\cdot \left|BC\right|}{2}=\frac{\left(8+8+15\sqrt{3}\right)\cdot 15}{2}=$

$=\frac{\left(16+15\sqrt{3}\right)\cdot 15}{2}=\frac{240+225\sqrt{3}}{2}=120\cdot \frac{225}{2}\sqrt{3}$              

Obliczamy obwód trapezu:

$L=8+15+8+15\sqrt{3}+30=61+15\sqrt{3}$  

---

c)

Przyjrzyjmy się rysunkowi:

Zauważmy, że trójkąt AED jest połową trójkąta równobocznego o boku długości 10, zatem:

$\left|AE\right|=\frac{1}{2}\cdot \left|AD\right|=\frac{1}{2}\cdot 10=5$

więc:

$\left|AB\right|=\left|AE\right|+\left|EB\right|=5+7=12$  

Natomiast odcinek DE jest wysokością trójkąta równobocznego o boku długości 10, więc:

$\left|DE\right|=\left|BC\right|=\frac{10\sqrt{3}}{2}=5\sqrt{3}$

Obliczamy pole trapezu:

$P=\frac{\left(\left|AB\right|+\left|CD\right|\right)\cdot \left|BC\right|}{2}=\frac{\left(12+7\right)\cdot 5\sqrt{3}}{2}=\frac{95\sqrt{3}}{2}$

Obliczamy obwód trapezu:

$L=12+5\sqrt{3}+7+10=29+5\sqrt{3}$