Z treści zadania wiemy, że należy obliczyć pole trójkąta równobocznego, w który został
wpisany okrąg o danym promieniu r.

W rozwiązaniu zadania korzystamy ze wzorów: 

$r=\frac{a\sqrt{3}}{6},P=\frac{a^2\cdot \sqrt{3}}{4}$   gdzie a jest długością boku trójkąta równobocznego.

---

a)

$r=8\sqrt{3}\left[\text{cm}\right]$

wobec tego:

$8\sqrt{3}=\frac{a\sqrt{3}}{6}\mid \cdot 6$

$48\sqrt{3}=a\sqrt{3}\mid :\sqrt{3}$

$a=48$

Obliczamy pole trójkąta równobocznego:

$P=\frac{{48}^2\cdot \sqrt{3}}{4}=\frac{2304\cdot \sqrt{3}}{4}=576\sqrt{3}\left[{\text{cm}}^2\right]$  

---

b)

$r=\frac{2}{3}\left[\text{cm}\right]$

wobec tego:

$\frac{2}{3}=\frac{a\sqrt{3}}{6}\mid \cdot 6$

$4=a\sqrt{3}\mid :\sqrt{3}$

$a=\frac{4}{\sqrt{3}}\cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=\frac{4\sqrt{3}}{3}$

Obliczamy pole trójkąta równobocznego:

$P=\frac{{\left(\frac{4\sqrt{3}}{3}\right)}^2\cdot \sqrt{3}}{4}=\frac{\frac{48}{9}\cdot \sqrt{3}}{4}=\frac{16}{3}\cdot \sqrt{3}\cdot \frac{1}{4}=\frac{4\sqrt{3}}{3}\left[{\text{cm}}^2\right]$  

---

c)

$r=2\sqrt{2}\left[\text{cm}\right]$

wobec tego:

$2\sqrt{2}=\frac{a\sqrt{3}}{6}\mid \cdot 6$

$12\sqrt{2}=a\sqrt{3}\mid :\sqrt{3}$

$a=\frac{12\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=\frac{12\sqrt{6}}{3}=4\sqrt{6}$

Obliczamy pole trójkąta równobocznego:

$P=\frac{{\left(4\sqrt{6}\right)}^2\cdot \sqrt{3}}{4}=\frac{96\cdot \sqrt{3}}{4}=24\sqrt{3}\left[{\text{cm}}^2\right]$