Z treści zadania wiemy, że ciąg (a_n) jest ciągiem arytmetycznym, gdzie:

$a_6=-2$

$a_1+a_2+a_3=42$

Wyrazy:

$b_1=a_1,b_2=a_4,b_3=a_5$

są trzema początkowymi wyrazami ciągu geometrycznego (b_n).   

---

a)

Korzystając ze wzoru na n-ty wyraz w ciągu arytmetycznym dostajemy: 

$a_6=a_1+5r$

$-2=a_1+5r$

$a_1=-2-5r$

Korzystając ze wzoru na sumę n początkowych wyrazów w ciągu arytmetycznym dostajemy:

$S_3=\frac{a_1+a_3}{2}\cdot 3$

$42=\frac{a_1+a_1+2r}{2}\cdot 3\mid \cdot \frac{2}{3}$

$28=2a_1+2r$

$28=2\left(-2-5r\right)+2r$

$28=-4-10r+2r$

$28=-4-8r$

$-8r=32\mid :\left(-8\right)$

$r=-4$

zatem:

$a_1=-2-5r=-2-5\cdot \left(-4\right)=-2+20=18$

---

b)

Obliczamy wartość trzech początkowych wyrazów ciągu geometrycznego:

$b_1=a_1=18$

$b_2=a_4=a_1+3r=18+3\cdot \left(-4\right)=18-12=6$

$b_3=a_5=a_1+4r=18+4\cdot \left(-4\right)=18-16=2$     

Obliczamy iloraz ciągu:

$q=\frac{b_2}{b_1}=\frac{6}{18}=\frac{1}{3}$

Zapisujemy wzór ogólny ciągu geometrycznego:

$b_n=b_1\cdot q^{n-1}=18\cdot {\left(\frac{1}{3}\right)}^{n-1}=18\cdot {\left(\frac{1}{3}\right)}^{-1}\cdot {\left(\frac{1}{3}\right)}^n=$             

$=18\cdot 3\cdot {\left(\frac{1}{3}\right)}^n=54\cdot {\left(\frac{1}{3}\right)}^n=54\cdot 3^{-n}$