Z treści zadania wiemy, że kwotę 10 890 zł rozdzielono na nagrody, zatem:

$S_n=10890$

Pierwsza nagroda ma wartość:

$a_1=90$

ostatnia nagroda ma wartość:

$a_n=7290$

---

a)

Należy obliczyć, ile było nagród.

Zauważmy, że: 

$a_n=a_1\cdot q^{n-1}$

zatem

$7290=90\cdot q^{n-1}\mid :90$

$q^{n-1}=81$   

Korzystając ze wzoru na sumę n początkowych wyrazów w ciągu geometrycznym dostajemy:

$10890=90\cdot \frac{1-q^n}{1-q}\mid :90$

$121=\frac{1-q^n}{1-q}$

$121=\frac{1-q^{n-1+1}}{1-q}$

$121=\frac{1-q^{n-1}\cdot q}{1-q}$

$121=\frac{1-81q}{1-q}$

$121\left(1-q\right)=1-81q$

$121-121q=1-81q$

$120=40q\mid :40$

$q=\frac{120}{40}=3$      

Wobec tego, powracając do równania:

$q^{n-1}=81$     

dostajemy:

$3^{n-1}=81$

$3^{n-1}=3^4$

$n-1=4$

$n=5$

Wnioskujemy, że było 5 nagród.     

---

b)   

Obliczamy wartość każdej z nagród:

$7290\left[\text{zł}\right];\frac{7290}{3}=2430\left[\text{zł}\right];\frac{2430}{3}=810\left[\text{zł}\right];\frac{810}{3}=270\left[\text{zł}\right];90\left[\text{zł}\right]$