Z treści zadania wiemy, że składniki sumy są wyrazami ciągu arytmetycznego.

---

a)

$1+3+5+\dots +199$

Składniki powyższej sumy tworzą ciąg arytmetyczny, gdzie:

$a_1=1,a_2=3,a_n=199,r=2$

Obliczmy, ile wyrazów ma ten ciąg korzystając ze wzoru na n-ty wyraz w ciągu arytmetycznym:

$199=1+\left(n-1\right)\cdot 2$

$199=1+2n-2$

$199=2n-1$   

$200=2n\mid :2$

$n=100$

Obliczamy sumę korzystając ze wzoru na sumę n-początkowych wyrazów w ciągu arytmetycznym:

$S_{100}=1+3+5+\dots +199=\frac{1+199}{2}\cdot 100=200\cdot 50=10000$        

---

b)

$2+4+6+\dots +1000$

Składniki powyższej sumy tworzą ciąg arytmetyczny, gdzie:

$a_1=2,a_2=4,a_n=1000,r=2$

Obliczmy, ile wyrazów ma ten ciąg korzystając ze wzoru na n-ty wyraz w ciągu arytmetycznym:

$1000=2+\left(n-1\right)\cdot 2$

$1000=2+2n-2$

$1000=2n\mid :2$   

$n=500$

Obliczamy sumę korzystając ze wzoru na sumę n-początkowych wyrazów w ciągu arytmetycznym:

$S_{500}=2+4+6+\dots +1000=\frac{2+1000}{2}\cdot 500=1002\cdot 250=250500$        

---

c)

$5+10+15+\dots +250$

Składniki powyższej sumy tworzą ciąg arytmetyczny, gdzie:

$a_1=5,a_2=10,a_n=250,r=5$

Obliczmy, ile wyrazów ma ten ciąg korzystając ze wzoru na n-ty wyraz w ciągu arytmetycznym:

$250=5+\left(n-1\right)\cdot 5$

$250=5+5n-5$

$250=5n\mid :5$   

$n=50$

Obliczamy sumę korzystając ze wzoru na sumę n-początkowych wyrazów w ciągu arytmetycznym:

$S_{50}=5+10+15+\dots +250=\frac{5+250}{2}\cdot 50=255\cdot 25=6375$        

---

d)

$\frac{1}{2}+1+\frac{3}{2}+\dots +10$

Składniki powyższej sumy tworzą ciąg arytmetyczny, gdzie:

$a_1=\frac{1}{2},a_2=1,a_n=10,r=\frac{1}{2}$

Obliczmy, ile wyrazów ma ten ciąg korzystając ze wzoru na n-ty wyraz w ciągu arytmetycznym:

$10=\frac{1}{2}+\left(n-1\right)\cdot \frac{1}{2}$

$10=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}n-\frac{1}{2}$

$10=\frac{1}{2}n\mid \cdot 2$   

$n=20$

Obliczamy sumę korzystając ze wzoru na sumę n-początkowych wyrazów w ciągu arytmetycznym:

$S_{10}=\frac{1}{2}+1+\frac{3}{2}+\dots +10=\frac{\frac{1}{2}+10}{2}\cdot 20=10\frac{1}{2}\cdot 10=\frac{21}{2}\cdot 10=21\cdot 5=105$        

---

e)

$100+93+86+\dots +\left(-5\right)$

Składniki powyższej sumy tworzą ciąg arytmetyczny, gdzie:

$a_1=100,a_2=93,a_n=-5,r=-7$

Obliczmy, ile wyrazów ma ten ciąg korzystając ze wzoru na n-ty wyraz w ciągu arytmetycznym:

$-5=100+\left(n-1\right)\cdot \left(-7\right)$

$-5=100-7n+7$

$-5=-7n+107\mid -107$   

$-7n=-112\mid :\left(-7\right)$

$n=16$  

Obliczamy sumę korzystając ze wzoru na sumę n-początkowych wyrazów w ciągu arytmetycznym:

$S_{16}=100+93+86+\dots +\left(-5\right)=\frac{100-5}{2}\cdot 16=95\cdot 8=760$        

---

f)

$-52-49-46+\dots +35$

Składniki powyższej sumy tworzą ciąg arytmetyczny, gdzie:

$a_1=-52,a_2=-49,a_n=35,r=3$

Obliczmy, ile wyrazów ma ten ciąg korzystając ze wzoru na n-ty wyraz w ciągu arytmetycznym:

$35=-52+\left(n-1\right)\cdot 3$

$35=-52+3n-3$

$35=-55+3n\mid +55$   

$3n=90\mid :3$

$n=30$  

Obliczamy sumę korzystając ze wzoru na sumę n-początkowych wyrazów w ciągu arytmetycznym:

$S_{30}=-52-49-46+\dots +35=\frac{-52+35}{2}\cdot 30=-17\cdot 15=-255$