Korzystając ze wzoru Newtona, przekształć ...- Zadanie 1: Matematyka z plusem 4. Zakres rozszerzony

Rozwiązanie

a) Przekształcamy dane wyrażenie, korzystając ze wzoru Newtona.

$(2 + c)^{4} = 2^{4} + (41) \cdot 2^{3} \cdot c + (42) \cdot 2^{2} \cdot c^{2} + (43) \cdot 2 \cdot c^{3} + c^{4} = 16 + 4 \cdot 8 \cdot c + 6 \cdot 4 \cdot c^{2} + 4 \cdot 2 \cdot c^{3} + c^{4} = 16 + 32 c + 24 c^{2} + 8 c^{3} + c^{4} = c^{4} + 8 c^{3} + 24 c^{2} + 32 c + 16$

b) Przekształcamy dane wyrażenie, korzystając ze wzoru Newtona.

$(3 + 2 x)^{5} = 3^{5} + (51) \cdot 3^{4} \cdot 2 x + (52) \cdot 3^{3} \cdot (2 x)^{2} + (53) \cdot 3^{2} \cdot (2 x)^{3} + (54) \cdot 3 \cdot (2 x)^{4} + (2 x)^{5} = 243 + 5 \cdot 81 \cdot 2 x + 10 \cdot 27 \cdot 4 x^{2} + 10 \cdot 9 \cdot 8 x^{3} + 5 \cdot 3 \cdot 16 x^{4} + 32 x^{5} = 243 + 810 x + 1080 x^{2} + 720 x^{3} + 240 x^{4} + 32 x^{5} = 32 x^{5} + 240 x^{4} + 720 x^{3} + 1080 x^{2} + 810 x + 243$

c) Przekształcamy dane wyrażenie, korzystając ze wzoru Newtona.

$(2 - \frac{a}{2})^{6} = 2^{6} + (61) \cdot 2^{5} \cdot (- \frac{a}{2}) + (62) \cdot 2^{4} \cdot (- \frac{a}{2})^{2} + (63) \cdot 2^{3} \cdot (- \frac{a}{2})^{3} + (64) \cdot 2^{2} \cdot (- \frac{a}{2})^{4} + (65) \cdot 2 \cdot (- \frac{a}{2})^{5} + (\frac{a}{2})^{6} = 64 + 6 \cdot 32 \cdot (- \frac{a}{2}) + 15 \cdot 16 \cdot \frac{a ^{2}}{4} + 20 \cdot 8 \cdot (- \frac{a ^{3}}{8}) + 15 \cdot 4 \cdot \frac{a ^{4}}{16} + 6 \cdot 2 \cdot (- \frac{a ^{5}}{32}) + \frac{a ^{6}}{64} = 64 - 96 a + 60 a^{2} - 20 a^{3} + \frac{15 a ^{4}}{4} - \frac{3 a ^{5}}{8} + \frac{a ^{6}}{64} = \frac{1}{64} a^{6} - \frac{3}{8} a^{5} + \frac{15}{4} a^{4} - 20 a^{3} + 60 a^{2} - 96 a + 64$

d) Przekształcamy dane wyrażenie, korzystając ze wzoru Newtona.

$(2 x - x y)^{5} = (2 x)^{5} + (51) \cdot (2 x)^{4} \cdot (- x y) + (52) \cdot (2 x)^{3} \cdot (- x y)^{2} + (53) \cdot (2 x)^{2} \cdot (- x y)^{3} + (54) \cdot (2 x) \cdot (- x y)^{4} + (- x y)^{5} = 32 x^{5} + 5 \cdot 16 x^{4} \cdot (- x y) + 10 \cdot 8 x^{3} \cdot x^{2} y^{2} + 10 \cdot 4 x^{2} \cdot (- x^{3} y^{3}) + 5 \cdot (2 x) \cdot x^{4} y^{4} - x^{5} y^{5} = 32 x^{5} - 80 x^{5} y + 80 x^{5} y^{2} - 40 x^{5} y^{3} + 10 x^{5} y^{4} - x^{5} y^{5} = - x^{5} y^{5} + 10 x^{5} y^{4} - 40 x^{5} y^{3} + 80 x^{5} y^{2} - 80 x^{5} y + 32 x^{5}$

e) Przekształcamy dane wyrażenie, korzystając ze wzoru Newtona.

$(z + \frac{3}{z})^{4} = z^{4} + (41) \cdot z^{3} \cdot \frac{3}{z} + (42) \cdot z^{2} \cdot (\frac{3}{z})^{2} + (43) \cdot z \cdot (\frac{3}{z})^{3} + (\frac{3}{z})^{4} = z^{4} + 4 \cdot z^{3} \cdot \frac{3}{z} + 6 \cdot z^{2} \cdot \frac{9}{z ^{2}} + 4 \cdot z \cdot \frac{27}{z ^{3}} + \frac{81}{z ^{4}} = z^{4} + 12 z^{2} + 54 + \frac{108}{z ^{2}} + \frac{81}{z ^{4}}$

f) Przekształcamy dane wyrażenie, korzystając ze wzoru Newtona.

$(\frac{4}{m} - \frac{m ^{2}}{2})^{5} = (\frac{4}{m})^{5} + (51) \cdot (\frac{4}{m})^{4} \cdot (- \frac{m ^{2}}{2}) + (52) \cdot (\frac{4}{m})^{3} \cdot (- \frac{m ^{2}}{2})^{2} + (53) \cdot (\frac{4}{m})^{2} \cdot (- \frac{m ^{2}}{2})^{3} + (54) \cdot (\frac{4}{m}) \cdot (- \frac{m ^{2}}{2})^{4} + (\frac{m ^{2}}{2})^{5} = \frac{1024}{m ^{5}} + 5 \cdot \frac{256}{m ^{4}} \cdot (- \frac{m ^{2}}{2}) + 10 \cdot \frac{64}{m ^{3}} \cdot \frac{m ^{4}}{4} + 10 \cdot \frac{16}{m ^{2}} \cdot (- \frac{m ^{6}}{8}) + 5 \cdot (\frac{4}{m}) \cdot \frac{m ^{8}}{16} + (- \frac{m ^{10}}{32}) = \frac{1024}{m ^{5}} - \frac{640}{m ^{2}} + 160 m - 20 m^{4} + \frac{5 m ^{7}}{4} - \frac{m ^{10}}{32} = - \frac{1}{32} m^{10} + \frac{5}{4} m^{7} - 20 m^{4} + 160 m - \frac{640}{m ^{2}} + \frac{1024}{m ^{5}}$