Wyznaczamy punkty przecięcia funkcji f z osią x.

W tym celu rozwiązujemy równanie 

$f\left(x\right)=0$

$-x^2+4=0$  

$x^2=4$  

$x=2\vee x=-2$  

czyli punkty przecięcia funkcji f z osią x mają współrzędne (-2,0), (2,0).  

---

Przyjrzyjmy się rysunkowi 

---

Punkty P₁ i P₂ należą do wykresu funkcji f, czyli współrzędne tych punktów można zapisać w postaci 

$\left(x,-x^2+4\right)$  

Skoro trójkąty ABP₁ i ABP₂ są prostokątne, to oznacza że odcinek AB jest średnicą pewnego okręgu o środku S i promieniu r, do którego punkty P₁ i P₂ należą. Odcinek AB jest średnicą jego okręgu, czyli środek okręgu S jest jednocześnie środkiem średnicy AB, czyli 

$S\left(0,0\right)$   

długość promienia r tego okręgu jest równa połowie długości średnicy AB, czyli 

$r=\frac{1}{2}\left|AB\right|=\frac{1}{2}\cdot 4=2$  

równanie okręgu o środku w punkcie S(0,0) i promieniu r=2 jest więc postaci 

$x^2+y^2=4$   

---

wstawiając współrzędne punktów P₁ i P₂ do równania okręgu mamy 

$x^2+{\left(-x^2+4\right)}^2=4$  

$x^2+{\left(4-x^2\right)}^2=4$  

$x^2+16-8x^2+x^4=4$  

$x^4-7x^2+12=0$  

użyjemy podstawienia

$t=x^2,t\ge 0$  

wtedy równanie jest postaci 

$t^2-7t+12=0$  

$\Delta ={\left(-7\right)}^2-4\cdot 1\cdot 12=49-48=1$  

$\sqrt{\Delta }=1$  

$t_1=\frac{7-1}{2}=3$  

$t_2=\frac{7+1}{2}=4$  

czyli 

$t=3\vee t=4$  

wracając do podstawienia mamy 

$x^3=3\vee x^2=4$  

$x=-\sqrt{3}\vee x=\sqrt{3}x=2\vee x=-2$  

dla x=2 i x=-2 dostajemy współrzędne punktów A i B. 

• Dla x = √3 mamy 

$y=-{\left(\sqrt{3}\right)}^2+4=-3+4=1$  

• Dla x=-√3 mamy 

$y=-{\left(-\sqrt{3}\right)}^2+4=-3+4=1$  

czyli punkty P₁ i P₂ mają współrzędne

$P_1\left(-\sqrt{3},1\right),P_2\left(\sqrt{3},1\right)$   

wtedy 

$\left|P_1{P}_2\right|=\sqrt{{\left(\sqrt{3}+\sqrt{3}\right)}^2+{\left(1-1\right)}^2}=\sqrt{{\left(2\sqrt{3}\right)}^2}=\underline{\underline{2\sqrt{3}}}$  

---

Odp. D.