a)

Z treści zadania wiadomo, że liczbę s zapamiętanych słów po upływie n dni od rozpoczęcia doświadczenia można obliczyć ze wzoru 

$s=a-b{\log }_2\left(n+1\right)$  

gdzie a i b są pewnymi liczbami rzeczywistymi. 

Korzystając z tabelki wiadomo, że dla n = 0 mamy s = 50 oraz dla n = 1 mamy s = 45. 

Otrzymujemy więc układ równań postaci 

$\{\begin{array}{l}50=a-b{\log }_2\left(0+1\right)\\ 45=a-b{\log }_2\left(1+1\right)\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}50=a-b{\log }_{2}1\\ 45=a-b{\log }_{2}2\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}50=a-b\cdot 0\\ 45=a-b\cdot 1\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}50=a\\ 45=a-b\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}a=50\\ 45=50-b\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}a=50\\ b=5\end{array}$  

czyli wyniki eksperymentu opisuje wzór 

$s=50-5{\log }_2\left(n+1\right)$  

Obliczamy ile słów pamiętał badany po upływie tygodnia od rozpoczęcia doświadczenia. 

Dla n = 7 mamy 

$s=50-5{\log }_2\left(7+1\right)=50-5{\log }_{2}8=50-5\cdot 3=50-15=35$   

Odp. Badany po upływie tygodnia pamiętał 35 słów. 

---

b)

Korzystając z obliczeń z podpunktu a) wiemy, że wyniki eksperymentu opisuje wzór 

$s=50-5{\log }_2\left(n+1\right)$  

Obliczymy przez ile dni (n ∈ N) badany pamiętał ponad połowę słów (czyli ponad 25 słów), rozwiązując nierówność postaci 

$50-5{\log }_2\left(n+1\right)>25$  

$-5{\log }_2\left(n+1\right)>-25\mid :\left(-5\right)$  

${\log }_2\left(n+1\right)<5$  

${\log }_2\left(n+1\right)<{\log }_2{2}^5$  

${\log }_2\left(n+1\right)<{\log }_{2}32$  

porównujemy liczby logarytmowane (ponieważ funkcja logarytmiczna y=log₂x jest rosnąca znak nierówności się nie zmienia), otrzymujemy 

$n+1<32$   

$n<31$  

zatem badany pamiętał ponad połowę słów przez mniej niż 31 dni (czyli przez 30 dni).