Wyraźmy w milimetrach długość promienia r szpuli:

$r=\frac{1}{2}\cdot 7=3,5\left[\text{cm}\right]=35\left[\text{mm}\right]$  

---

Rysunek pomocniczy:

---

Obliczmy długość wstążki nawiniętej po pierwszym pełnym obrocie szpuli:

• $2\pi \cdot 35=70\pi \approx 70\cdot \frac{22}{7}=220\left[\text{mm}\right]$   

Wiadomo, że po każdym kolejnym pełnym obrocie nawija się o 2 mm dłuższy fragment wstążki. 

Zatem po drugim pełnym obrocie długość nawiniętej wstążki to: 

• $220+2=222\left[\text{mm}\right]$  

Po trzecim pełnym obrocie:

• $220+2\cdot 2=224\left[\text{mm}\right]$  

Po czwartym pełnym obrocie:

• $220+2\cdot 3=226\left[\text{mm}\right]$  

...

po n-tym pełnym obrocie:

• $220+2\cdot \left(n-1\right)\left[\text{mm}\right]$  

---

Zatem długości fragmentów wstążki (które nawinęły się na szpulę w kolejnych pełnych obrotach) tworzą n-elementowy ciąg arytmetyczny, w którym

• $a_1=220$  
• $r=2$  
• $a_n=220+2\left(n-1\right)$  

---

Na szpulę nawinięto wstążkę długości 5 m = 5000 mm, czyli będziemy szukać najmniejszej liczby obrotów n, dla której suma n początkowych wyrazów ciągu będzie większa od 5000 mm (wtedy mamy pewność że już cała wstążka jest nawinięta), czyli rozważamy nierówność 

$\frac{a_1+a_n}{2}\cdot n>5000$  

$\frac{220+220+2\left(n-1\right)}{2}\cdot n>5000$  

$\frac{440+2\left(n-1\right)}{2}\cdot n>5000$  

$\frac{2\cdot \left(220+n-1\right)}{2}\cdot n>5000$  

$\left(219+n\right)\cdot n>5000$  

$n^2+219n-5000>0$  

$\Delta ={219}^2-4\cdot 1\cdot \left(-5000\right)=47961+20000=67961$  

$\sqrt{\Delta }=\sqrt{67961}$  

$n_1=\frac{-219-\sqrt{67961}}{2}\approx -239,8$  

$n_2=\frac{-219+\sqrt{67961}}{2}\approx 20,8$  

czyli 

$n\in \left(-\infty ,\frac{-219-\sqrt{67961}}{2}\right)\cup \left(\frac{-219+\sqrt{67961}}{2},+\infty \right)$  

zatem najmniejszą liczbą naturalną spełniającą powyższą nierówność jest 21.

Oznacza to, że po 21 obrotach (ostatni niepełny) wstążka będzie nawinięta na szpulę.