Wyznaczymy najmniejszą wartość funkcji 

$f\left(x\right)=\frac{x}{x^2+1},x\in ⟨-2,3⟩$  

---

Funkcja f jest ciągła i różniczkowalna w przedziale (-2,3). 

Wyznaczamy pochodną tej funkcji 

$f{}^{\prime }\left(x\right)=\left(\frac{x}{x^2+1}\right){}^{\prime }=\frac{\left(x\right){}^{\prime }\cdot \left(x^2+1\right)-x\cdot \left(x^2+1\right){}^{\prime }}{{\left(x^2+1\right)}^2}=$  

$=\frac{1\cdot \left(x^2+1\right)-x\cdot \left(2x\right)}{{\left(x^2+1\right)}^2}=\frac{x^2+1-2x^2}{{\left(x^2+1\right)}^2}=\frac{-x^2+1}{{\left(x^2+1\right)}^2}$  

---

Wyznaczamy punkty krytyczne funkcji f:

$f{}^{\prime }\left(x\right)=0$  

$\frac{-x^2+1}{{\left(x^2+1\right)}^2}=0\mid \cdot {\left(x^2+1\right)}^2$  

$-x^2+1=0$  

$-x^2=-1\mid :\left(-1\right)$

$x^2=1$  

$x=1\vee x=-1$   

czyli funkcja f ma dwa punkty krytyczne: -1 i 1. 

---

Aby wyznaczyć najmniejszą wartość funkcji porównujemy wartości funkcji w punktach krytycznych -1 i 1 oraz na krańcach przedziału określoności, czyli porównujemy liczby 

$f\left(-2\right),f\left(-1\right),f\left(1\right),f\left(3\right)$  

Mamy:

• $f\left(-2\right)=\frac{-2}{{\left(-2\right)}^2+1}=\frac{-2}{4+1}=-\frac{2}{5}$  
• $f\left(-1\right)=\frac{-1}{{\left(-1\right)}^2+1}=\frac{-1}{1+1}=-\frac{1}{2}$  
• $f\left(1\right)=\frac{1}{1^2+1}=\frac{1}{2}$  
• $f\left(3\right)=\frac{3}{3^2+1}=\frac{3}{9+1}=\frac{3}{10}$  

czyli otrzymujemy, że funkcja f przyjmuje wartość najmniejszą równą -¹/₂ dla argumentu -1. 

---

Odp. Poprawna odpowiedź to C.