Rozważamy funkcję 

$f\left(x\right)=x^4-4x^3-8x^2,x\in \mathbb{R}$  

Funkcja f jest ciągła i różniczkowalna w zbiorze R. 

Wyznaczamy pochodną tej funkcji

$f{}^{\prime }\left(x\right)=\left(x^4-4x^3-8x^2\right){}^{\prime }=\left(x^4\right){}^{\prime }-\left(4x^3\right){}^{\prime }-\left(8x^2\right){}^{\prime }=$  

$=4x^3-4\cdot 3x^2-8\cdot 2x=4x^3-12x^2-16x$  

czyli 

• $\underline{\underline{f{}^{\prime }\left(x\right)=4x^3-12x^2-16x,x\in \mathbb{R}}}$  

Wyznaczamy punkty krytyczne tej funkcji

$f{}^{\prime }\left(x\right)=0$  

$4x^3-12x^2-16x=0\mid :4$  

$x^3-3x^2-4x=0$  

$x\left(x^2-3x-4\right)=0$  

$x=0\vee {\underset{\Delta ={\left(-3\right)}^2-4\cdot 1\cdot \left(-4\right)=25,\sqrt{\Delta }=5}{x^2-3x-4=0}}_{}$  

$x=-1\vee x=4$  

czyli funkcja f ma trzy punkty krytyczne:

$-1,0,4$  

---

a)

Znajdziemy najmniejszą i największą wartość funkcji f w przedziale 

$⟨-2,4⟩$  

Funkcja f jest różniczkowalna w przedziale otwartym (-2,4). W tym przedziale funkcja f ma dwa punkty krytyczne:

$-1\text{i}0$  

Żeby wyznaczyć najmniejszą i największą wartość funkcji obliczamy wartości funkcji f w punktach krytycznych -1 i 0 oraz w punktach -2 i 4.

Mamy 

• $\mathbf{f}\left(-2\right)={\left(-2\right)}^4-4{\left(-2\right)}^3-8{\left(-2\right)}^2=16+32-32=16$  
• $\mathbf{f}\left(-1\right)={\left(-1\right)}^4-4\cdot {\left(-1\right)}^3-8{\left(-1\right)}^2=1+4-8=-3$  
• $\mathbf{f}\left(0\right)=0$  
• $\mathbf{f}\left(4\right)=4^4-4\cdot 4^3-8\cdot 4^2=256-256-128=-128$  

porównując otrzymane liczby dostajemy, że w przedziale <-2,4>  funkcja f przyjmuje 

• wartość najmniejszą równą -128 dla argumentu 4 
• wartość największą równą 16 dla argumentu -2. 

---

b)

Znajdziemy najmniejszą i największą wartość funkcji f w przedziale 

$⟨-2,1⟩$  

Funkcja f jest różniczkowalna w przedziale otwartym (-2,1). W tym przedziale funkcja f ma dwa punkty krytyczne:

$-1\text{i}0$  

Żeby wyznaczyć najmniejszą i największą wartość funkcji w przedziale <-2,1> obliczamy wartości funkcji f w punktach krytycznych -1 i 0 oraz w punktach -2 i 1.

Mamy 

• $\mathbf{f}\left(-2\right)={\left(-2\right)}^4-4{\left(-2\right)}^3-8{\left(-2\right)}^2=16$  
• $\mathbf{f}\left(-1\right)={\left(-1\right)}^4-4\cdot {\left(-1\right)}^3-8{\left(-1\right)}^2=-3$  
• $\mathbf{f}\left(0\right)=0$  
• $\mathbf{f}\left(1\right)=1-4-8=-11$  

porównując otrzymane liczby dostajemy, że w przedziale <-2,1> funkcja f przyjmuje

• wartość najmniejszą równą -11 dla argumentu 1 
• wartość największą równą 16 dla argumentu -2. 

---

c)

Znajdziemy najmniejszą i największą wartość funkcji f w przedziale 

$⟨-1,1⟩$  

Funkcja f jest różniczkowalna w przedziale otwartym (-1,1). W tym przedziale funkcja f ma jeden punkt krytyczny:

$0$  

Żeby wyznaczyć najmniejszą i największą wartość funkcji w przedziale <-1,1> obliczamy wartości funkcji f w punkcie krytycznym 0 oraz w punktach -1 i 1.

Mamy 

• $\mathbf{f}\left(-1\right)={\left(-1\right)}^4-4\cdot {\left(-1\right)}^3-8{\left(-1\right)}^2=-3$  
• $\mathbf{f}\left(0\right)=0$  
• $\mathbf{f}\left(1\right)=1-4-8=-11$  

porównując otrzymane liczby dostajemy, że w przedziale <-1,1> funkcja f przyjmuje

• wartość najmniejszą równą -11 dla argumentu 1 
• wartość największą równą 0 dla argumentu 0. 

---

d)

Znajdziemy najmniejszą i największą wartość funkcji f w przedziale 

$⟨-\frac{1}{2},\frac{3}{2}⟩$  

Funkcja f jest różniczkowalna w przedziale otwartym (-¹/₂, ³/₂). W tym przedziale funkcja f ma jeden punkt krytyczny:

$0$  

Żeby wyznaczyć najmniejszą i największą wartość funkcji w przedziale <-¹/₂, ³/₂> obliczamy wartości funkcji f w punkcie krytycznym 0 oraz w punktach -¹/₂ i ³/₂. 

Mamy 

• $\mathbf{f}\left(-\frac{1}{2}\right)={\left(-\frac{1}{2}\right)}^4-4{\left(-\frac{1}{2}\right)}^3-8{\left(-\frac{1}{2}\right)}^2=\frac{1}{16}+\frac{1}{2}-2=-\frac{23}{16}=-1\frac{7}{16}$  
• $\mathbf{f}\left(0\right)=0$  
• $\mathbf{f}\left(\frac{3}{2}\right)={\left(\frac{3}{2}\right)}^4-4\cdot {\left(\frac{3}{2}\right)}^3-8\cdot {\left(\frac{3}{2}\right)}^2=\frac{81}{16}-\frac{27}{2}-18=-\frac{423}{16}=-26\frac{7}{16}$  

porównując otrzymane liczby dostajemy, że w przedziale <-¹/₂, ³/₂>  funkcja f przyjmuje 

• wartość najmniejszą równą -26⁷/₁₆ dla argumentu ³/₂ 
• wartość największą równą 0 dla argumentu 0.