Przeczytaj informacje w ramce ...- Zadanie 17: Matematyka z plusem 4. Zakres rozszerzony

Rozwiązanie

Wyznaczamy współrzędne punktów przecięcia wykresów funkcji f i g.

${y = x^{3} + x^{2} - x - 1 y = x^{3} - 2 x + 1$

${x^{3} - 2 x + 1 = x^{3} + x^{2} - x - 1 ∣ - x^{3} y = x^{3} - 2 x + 1$

${- 2 x + 1 = x^{2} - x - 1 ∣ + 2 x y = x^{3} - 2 x + 1$

${1 = x^{2} + x - 1 ∣ - 1 y = x^{3} - 2 x + 1$

${0 = x^{2} + x - 2 y = x^{3} - 2 x + 1$

${0 = x^{2} - x + 2 x - 2 y = x^{3} - 2 x + 1$

${0 = x (x - 1) + 2 (x - 1) y = x^{3} - 2 x + 1$

${0 = (x - 1) (x + 2) y = x^{3} - 2 x + 1$

Iloczyn dwóch liczb jest równy 0, jeżeli co najmniej jedna z tych liczb jest równa 0.

$x - 1 = 0 lub x + 2 = 0$

$x = 1 lub x = - 2$

Mamy więc:

${x = 1 y = x^{3} - 2 x + 1 lub {x = - 2 y = x^{3} - 2 x + 1$

${x = 1 y = 1^{3} - 2 \cdot 1 + 1 lub {x = - 2 y = (- 2)^{3} - 2 \cdot (- 2) + 1$

${x = 1 y = 1 - 2 + 1 lub {x = - 2 y = - 8 + 4 + 1$

${x = 1 y = 0 lub {x = - 2 y = - 3$

Wyznaczamy równanie stycznej do wykresu funkcji f w punkcie (1, 0). Przyjmijmy, że ma ona postać y=a₁x+b₁.

Najpierw obliczamy pochodną funkcji f.

$f^{'} (x) = (x^{3} + x^{2} - x - 1)^{'} = (x^{3})^{'} + (x^{2})^{'} - (x)^{'} - (1)^{'} = 3 x^{2} + 2 x - 1$

Współczynnik kierunkowy stycznej do wykresu funkcji f w punkcie o pierwszej współrzędnej równej 1 jest równy f'(1).

$a_{1} = f^{'} (1) = 3 \cdot 1^{2} + 2 \cdot 1 - 1 = 3 \cdot 1 + 2 - 1 = 3 + 1 = 4$

Współrzędne punktu styczności spełniają równanie stycznej. Wyznaczamy wyraz wolny b₁.

$0 = 4 \cdot 1 + b_{1}$

$0 = 4 + b_{1} ∣ - 4$

$- 4 = b_{1}$

Styczna do wykresu funkcji f w punkcie (1, 0) dana jest równaniem:

$y = 4 x - 4$

Wyznaczamy miarę kąta nachylenia tej prostej do osi x.

$t g α_{1} = 4$

$α_{1} \approx 76^{\circ}$

Wyznaczamy równanie stycznej do wykresu funkcji g w punkcie (1, 0). Przyjmijmy, że ma ona postać y=a₂x+b₂.

Najpierw obliczamy pochodną funkcji g.

$g^{'} (x) = (x^{3} - 2 x + 1)^{'} = (x^{3})^{'} - 2 (x)^{'} + (1)^{'} = 3 x^{2} - 2$

Współczynnik kierunkowy stycznej do wykresu funkcji g w punkcie o pierwszej współrzędnej równej 1 jest równy g'(1).

$a_{2} = g^{'} (1) = 3 \cdot 1^{2} - 2 = 3 \cdot 1 - 2 = 3 - 2 = 1$

Współrzędne punktu styczności spełniają równanie stycznej. Wyznaczamy wyraz wolny b₂.

$0 = 1 \cdot 1 + b_{2}$

$0 = 1 + b_{2} ∣ - 1$

$- 1 = b_{2}$

Styczna do wykresu funkcji g w punkcie (1, 0) dana jest równaniem:

$y = x - 1$

Wyznaczamy miarę kąta nachylenia tej prostej do osi x.

$t g α_{2} = 1$

$α_{2} = 45^{\circ}$

Wyznaczamy miarę kąta przecięcia wykresów funkcji f i g w punkcie (1, 0).

$α = α_{1} - α_{2} \approx 76^{\circ} - 45^{\circ} = 31^{\circ}$

Wyznaczamy równanie stycznej do wykresu funkcji f w punkcie (-2, -3). Przyjmijmy, że ma ona postać y=c₁x+d₁.

Znamy już pochodną funkcji f.

$f^{'} (x) = 3 x^{2} + 2 x - 1$

Współczynnik kierunkowy stycznej do wykresu funkcji f w punkcie o pierwszej współrzędnej równej -2 jest równy f'(-2).

$a_{2} = f^{'} (- 2) = 3 \cdot (- 2)^{2} + 2 \cdot (- 2) - 1 = 3 \cdot 4 - 4 - 1 = 12 - 5 = 7$

Współrzędne punktu styczności spełniają równanie stycznej. Wyznaczamy wyraz wolny b₂.

$- 3 = 7 \cdot (- 2) + b_{2}$

$- 3 = - 14 + b_{2} ∣ + 14$

$11 = b_{2}$

Styczna do wykresu funkcji f w punkcie (-2, -3) dana jest równaniem:

$y = 7 x + 11$

Wyznaczamy miarę kąta nachylenia tej prostej do osi x.

$t g β_{1} = 7$

$β_{1} \approx 82^{\circ}$

Wyznaczamy równanie stycznej do wykresu funkcji g w punkcie (-2, -3). Przyjmijmy, że ma ona postać y=c₂x+d₂.

Znamy już pochodną funkcji g.

$g^{'} (x) = 3 x^{2} - 2$

Współczynnik kierunkowy stycznej do wykresu funkcji g w punkcie o pierwszej współrzędnej równej -2 jest równy g'(-2).

$c_{2} = g^{'} (- 2) = 3 \cdot (- 2)^{2} - 2 \cdot = 3 \cdot 4 - 2 = 12 - 2 = 10$

Współrzędne punktu styczności spełniają równanie stycznej. Wyznaczamy wyraz wolny d₂.

$- 3 = 10 \cdot (- 2) + d_{2}$

$- 3 = - 20 + d_{2} ∣ + 20$

$17 = d_{2}$

Styczna do wykresu funkcji g w punkcie (-2, -3) dana jest równaniem:

$y = 10 x + 17$

Wyznaczamy miarę kąta nachylenia tej prostej do osi x.

$t g β_{2} = 7$

$β_{2} \approx 84^{\circ}$

Wyznaczamy miarę kąta przecięcia wykresów funkcji f i g w punkcie (-2, -3).

$β = β_{2} - β_{1} \approx 84^{\circ} - 82^{\circ} = 2^{\circ}$

Wykresy funkcji f i g przecinają się pod większym kątem w punkcie (1, 0).

Rysunek pomocniczy:

Agnieszka Sermak

Nauczycielka matematyki

Zobacz lekcje, które wyjaśnią temat krok po kroku:

Miejsce zerowe i punkt wspólny wykresu funkcji liniowej z osią Oy

Premium

12:15

Zobacz lekcję

Dostęp do wszystkich lekcji w planie Premium

Wyznaczanie wzoru funkcji liniowej

Premium

13:20

Zobacz lekcję

Dostęp do wszystkich lekcji w planie Premium

Miejsce zerowe i punkty wspólne wykresu funkcji z osiami układu współrzędnych

Premium

11:50

Zobacz lekcję

Dostęp do wszystkich lekcji w planie Premium

Tutaj pojawi się lista Twoich książek

Zaloguj się i zacznij tworzyć ją już teraz.