Dana jest funkcja: f(x)= ...- Zadanie 10: Matematyka z plusem 4. Zakres rozszerzony

Rozwiązanie

a) Wyznaczamy granicę funkcji f przy x dążącym do +∞, gdy n=m.

$x \to + \infty lim f (x) = x \to + \infty lim \frac{a _{n} x ^{n} + a _{n - 1} x ^{n - 1} + \dots + a _{1} x + a _{0}}{b _{n} x ^{n} + b _{n - 1} x ^{n - 1} + \dots + b _{1} x + b _{0}} = x \to + \infty lim \frac{x ^{n} ( a _{n} + \frac{a _{n - 1}}{x} + \dots + \frac{a _{1}}{x ^{n - 1}} + \frac{a _{0}}{x ^{n}} )}{x ^{n} ( b _{n} + \frac{b _{n - 1}}{x} + \dots + \frac{b _{1}}{x ^{n - 1}} + \frac{b _{0}}{x ^{n}} )} = x \to + \infty lim \frac{a _{n} ↑ a _{n} + \frac{a _{n - 1}}{x} ↑ 0 + \dots + \frac{a _{1}}{x ^{n - 1}} ↑ 0 + \frac{a _{0}}{x ^{n}} ↑ 0}{b _{n} ↓ b _{n} + 0 ↓ \frac{b _{n - 1}}{x} + \dots + 0 ↓ \frac{b _{1}}{x ^{n - 1}} + 0 ↓ \frac{b _{0}}{x ^{n}}} = \frac{a _{n} + 0 + \dots + 0 + 0}{b _{n} + 0 + \dots + 0 + 0} = \frac{a _{n}}{b _{n}}$

Wyznaczamy granicę funkcji f przy x dąży do -∞, gdy n=m.

$x \to - \infty lim f (x) = x \to - \infty lim \frac{a _{n} x ^{n} + a _{n - 1} x ^{n - 1} + \dots + a _{1} x + a _{0}}{b _{n} x ^{n} + b _{n - 1} x ^{n - 1} + \dots + b _{1} x + b _{0}} = x \to - \infty lim \frac{x ^{n} ( a _{n} + \frac{a _{n - 1}}{x} + \dots + \frac{a _{1}}{x ^{n - 1}} + \frac{a _{0}}{x ^{n}} )}{x ^{n} ( b _{n} + \frac{b _{n - 1}}{x} + \dots + \frac{b _{1}}{x ^{n - 1}} + \frac{b _{0}}{x ^{n}} )} = x \to - \infty lim \frac{a _{n} ↑ a _{n} + \frac{a _{n - 1}}{x} ↑ 0 + \dots + \frac{a _{1}}{x ^{n - 1}} ↑ 0 + \frac{a _{0}}{x ^{n}} ↑ 0}{b _{n} ↓ b _{n} + 0 ↓ \frac{b _{n - 1}}{x} + \dots + 0 ↓ \frac{b _{1}}{x ^{n - 1}} + 0 ↓ \frac{b _{0}}{x ^{n}}} = \frac{a _{n} + 0 + \dots + 0 + 0}{b _{n} + 0 + \dots + 0 + 0} = \frac{a _{n}}{b _{n}}$

b) Wyznaczamy granicę funkcji f przy x dążącym do +∞, gdy n<m.

$x \to + \infty lim f (x) = x \to + \infty lim \frac{a _{n} x ^{n} + a _{n - 1} x ^{n - 1} + \dots + a _{1} x + a _{0}}{b _{m} x ^{m} + b _{m - 1} x ^{m - 1} + \dots + b _{1} x + b _{0}} = x \to + \infty lim \frac{x ^{n} ( a _{n} + \frac{a _{n - 1}}{x} + \dots + \frac{a _{1}}{x ^{n - 1}} + \frac{a _{0}}{x ^{n}} )}{x ^{m} ( b _{m} + \frac{b _{m - 1}}{x} + \dots + \frac{b _{1}}{x ^{m - 1}} + \frac{b _{0}}{x ^{m}} )} = x \to + \infty lim \frac{a _{n} ↑ a _{n} + \frac{a _{n - 1}}{x} ↑ 0 + \dots + \frac{a _{1}}{x ^{n - 1}} ↑ 0 + \frac{a _{0}}{x ^{n}} ↑ 0}{+ \infty ↓ x ^{m - n} ( b _{m} ↓ b _{m} + 0 ↓ \frac{b _{m - 1}}{x} + \dots + 0 ↓ \frac{b _{1}}{x ^{m - 1}} + 0 ↓ \frac{b _{0}}{x ^{m}} )} = \frac{a _{n} + 0 + \dots + 0 + 0}{( + \infty ) \cdot ( a _{n} + 0 + \dots + 0 + 0 )} = \frac{a _{n}}{+ \infty} = 0$

Wyznaczamy granicę funkcji f przy x dążącym do -∞, gdy n<m.

$x \to - \infty lim f (x) = x \to - \infty lim \frac{a _{n} x ^{n} + a _{n - 1} x ^{n - 1} + \dots + a _{1} x + a _{0}}{b _{m} x ^{m} + b _{m - 1} x ^{m - 1} + \dots + b _{1} x + b _{0}} = x \to - \infty lim \frac{x ^{n} ( a _{n} + \frac{a _{n - 1}}{x} + \dots + \frac{a _{1}}{x ^{n - 1}} + \frac{a _{0}}{x ^{n}} )}{x ^{m} ( b _{m} + \frac{b _{m - 1}}{x} + \dots + \frac{b _{1}}{x ^{m - 1}} + \frac{b _{0}}{x ^{m}} )} = x \to - \infty lim \frac{a _{n} ↑ a _{n} + \frac{a _{n - 1}}{x} ↑ 0 + \dots + \frac{a _{1}}{x ^{n - 1}} ↑ 0 + \frac{a _{0}}{x ^{n}} ↑ 0}{+ \infty ↓ x ^{m - n} ( b _{m} ↓ b _{m} + 0 ↓ \frac{b _{m - 1}}{x} + \dots + 0 ↓ \frac{b _{1}}{x ^{m - 1}} + 0 ↓ \frac{b _{0}}{x ^{m}} )} = \frac{a _{n} + 0 + \dots + 0 + 0}{( + \infty ) \cdot ( a _{n} + 0 + \dots + 0 + 0 )} = \frac{a _{n}}{+ \infty} = 0$

c) Wyznaczamy granicę funkcji f przy x dążącym do +∞, gdy n>m.

$x \to + \infty lim f (x) = x \to + \infty lim \frac{a _{n} x ^{n} + a _{n - 1} x ^{n - 1} + \dots + a _{1} x + a _{0}}{b _{m} x ^{m} + b _{m - 1} x ^{m - 1} + \dots + b _{1} x + b _{0}} = x \to + \infty lim \frac{x ^{n} ( a _{n} + \frac{a _{n - 1}}{x} + \dots + \frac{a _{1}}{x ^{n - 1}} + \frac{a _{0}}{x ^{n}} )}{x ^{m} ( b _{m} + \frac{b _{m - 1}}{x} + \dots + \frac{b _{1}}{x ^{m - 1}} + \frac{b _{0}}{x ^{m}} )} = x \to + \infty lim \frac{x _{n - m} ↑ + \infty ( a _{n} ↑ a _{n} + \frac{a _{n - 1}}{x} ↑ 0 + \dots + \frac{a _{1}}{x ^{n - 1}} ↑ 0 + \frac{a _{0}}{x ^{n}} ↑ 0 )}{b _{m} ↓ b _{m} + 0 ↓ \frac{b _{m - 1}}{x} + \dots + 0 ↓ \frac{b _{1}}{x ^{m - 1}} + 0 ↓ \frac{b _{0}}{x ^{m}}} = \frac{( + \infty ) \cdot ( a _{n} + 0 + \dots + 0 + 0 )}{a _{n} + 0 + \dots + 0 + 0} = \frac{+ \infty}{a _{n}} = - \infty$

Wyznaczamy granicę funkcji f przy x dążącym do -∞, gdy n>m.

$x \to - \infty lim f (x) = x \to - \infty lim \frac{a _{n} x ^{n} + a _{n - 1} x ^{n - 1} + \dots + a _{1} x + a _{0}}{b _{m} x ^{m} + b _{m - 1} x ^{m - 1} + \dots + b _{1} x + b _{0}} = x \to - \infty lim \frac{x ^{n} ( a _{n} + \frac{a _{n - 1}}{x} + \dots + \frac{a _{1}}{x ^{n - 1}} + \frac{a _{0}}{x ^{n}} )}{x ^{m} ( b _{m} + \frac{b _{m - 1}}{x} + \dots + \frac{b _{1}}{x ^{m - 1}} + \frac{b _{0}}{x ^{m}} )} = x \to - \infty lim \frac{x _{n - m} ↑ \pm \infty ( a _{n} ↑ a _{n} + \frac{a _{n - 1}}{x} ↑ 0 + \dots + \frac{a _{1}}{x ^{n - 1}} ↑ 0 + \frac{a _{0}}{x ^{n}} ↑ 0 )}{b _{m} ↓ b _{m} + 0 ↓ \frac{b _{m - 1}}{x} + \dots + 0 ↓ \frac{b _{1}}{x ^{m - 1}} + 0 ↓ \frac{b _{0}}{x ^{m}}} = \frac{( \pm \infty ) \cdot ( a _{n} + 0 + \dots + 0 + 0 )}{a _{n} + 0 + \dots + 0 + 0} = \frac{\pm \infty}{a _{n}} = \pm \infty$

Ta granica ma dwa rozwiązania. Zależą one od parzystości liczby n-m.

gdy n-m jest liczbą parzystą, to:

$x \to - \infty lim f (x) = x \to - \infty lim \frac{x _{n - m} ↑ + \infty ( a _{n} ↑ a _{n} + \frac{a _{n - 1}}{x} ↑ 0 + \dots + \frac{a _{1}}{x ^{n - 1}} ↑ 0 + \frac{a _{0}}{x ^{n}} ↑ 0 )}{b _{m} ↓ b _{m} + 0 ↓ \frac{b _{m - 1}}{x} + \dots + 0 ↓ \frac{b _{1}}{x ^{m - 1}} + 0 ↓ \frac{b _{0}}{x ^{m}}} = \frac{( + \infty ) \cdot ( a _{n} + 0 + \dots + 0 + 0 )}{a _{n} + 0 + \dots + 0 + 0} = \frac{+ \infty}{a _{n}} = - \infty$
gdy n-m jest liczbą nieparzystą, to:

$x \to - \infty lim f (x) = x \to - \infty lim \frac{x _{n - m} ↑ - \infty ( a _{n} ↑ a _{n} + \frac{a _{n - 1}}{x} ↑ 0 + \dots + \frac{a _{1}}{x ^{n - 1}} ↑ 0 + \frac{a _{0}}{x ^{n}} ↑ 0 )}{b _{m} ↓ b _{m} + 0 ↓ \frac{b _{m - 1}}{x} + \dots + 0 ↓ \frac{b _{1}}{x ^{m - 1}} + 0 ↓ \frac{b _{0}}{x ^{m}}} = \frac{( - \infty ) \cdot ( a _{n} + 0 + \dots + 0 + 0 )}{a _{n} + 0 + \dots + 0 + 0} = \frac{- \infty}{a _{n}} = + \infty$