a) Przyjmijmy, że:

A - Orzeł wypadnie 3 razy.

Za sukces uznajemy to, że wypadł orzeł. Mamy więc: 

$n=5$  

$k=3$  

$p=\frac{1}{2}$  

Wobec tego:

$P\left(A\right)=P_5\left(3\right)=\left(\begin{array}{c}5\\ 3\end{array}\right)\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^3\cdot {\left(1-\frac{1}{2}\right)}^{5-3}=\frac{5!}{3!\cdot \left(5-3\right)!}\cdot \frac{1}{8}\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^2=\frac{5\cdot 4\cdot \cancel{3!}}{\cancel{3!}\cdot 2\cdot 1}\cdot \frac{1}{8}\cdot \frac{1}{4}=\frac{20}{2}\cdot \frac{1}{32}=10\cdot \frac{1}{32}=\frac{10}{32}=\frac{5}{16}$  

---

b) Przyjmijmy, że:

A - Szóstki wypadną 2 razy.

Za sukces uznajemy to, że wypadła szóstka. Mamy więc: 

$n=4$  

$k=2$  

$p=\frac{1}{6}$  

Wobec tego:

$P\left(A\right)=P_4\left(2\right)=\left(\begin{array}{c}4\\ 2\end{array}\right)\cdot {\left(\frac{1}{6}\right)}^2\cdot {\left(1-\frac{1}{6}\right)}^{4-2}=\frac{4!}{2!\cdot \left(4-2\right)!}\cdot \frac{1}{36}\cdot {\left(\frac{5}{6}\right)}^2=\frac{4\cdot 3\cdot \cancel{2!}}{\cancel{2!}\cdot 2\cdot 1}\cdot \frac{1}{36}\cdot \frac{25}{36}=\frac{12}{2}\cdot \frac{25}{1296}=6\cdot \frac{25}{1296}=\frac{25}{216}$  

---

c) Przyjmijmy, że:

A - Czarną kulę wyciągnięto 3 razy.

Za sukces uznajemy to, że wyciągnięto czarną kulę. Mamy więc: 

$n=7$  

$k=3$  

$p=\frac{3}{5}$  

Wobec tego:

$P\left(A\right)=P_7\left(3\right)=\left(\begin{array}{c}7\\ 3\end{array}\right)\cdot {\left(\frac{3}{5}\right)}^3\cdot {\left(1-\frac{3}{5}\right)}^{7-3}=\frac{7!}{3!\cdot \left(7-3\right)!}\cdot \frac{27}{125}\cdot {\left(\frac{2}{5}\right)}^4=\frac{7\cdot 6\cdot 5\cdot \cancel{4!}}{3\cdot 2\cdot 1\cdot \cancel{4!}}\cdot \frac{27}{125}\cdot \frac{16}{625}=\frac{210}{6}\cdot \frac{432}{78125}=35\cdot \frac{432}{78125}=\frac{3024}{15625}$  

---

d) Przyjmijmy, że:

A - Koszykarz odda 5 celnych rzutów.

Za sukces uznajemy to, że koszykarz odda celny rzut. Mamy więc: 

$n=10$  

$k=5$  

$p=0,8$  

Wobec tego:

$P\left(A\right)=P_{10}\left(5\right)=\left(\begin{array}{c}10\\ 5\end{array}\right)\cdot {\left(0,8\right)}^5\cdot {\left(1-0,8\right)}^{10-5}=\frac{10!}{5!\cdot \left(10-5\right)!}\cdot 0,32768\cdot {\left(0,2\right)}^5=\frac{10\cdot 9\cdot 8\cdot 7\cdot 6\cdot \cancel{5!}}{5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1\cdot \cancel{5!}}\cdot 0,32768\cdot 0,00032=252\cdot 0,0001048576=0,0264241152$  

---

e) Przyjmijmy, że:

A - W pojemniku są 3 nadtłuczone jaja.

Za sukces uznajemy to, że jajo jest nadtłuczone. Mamy więc: 

$n=12$  

$k=3$  

$p=\frac{1}{100}$  

Wobec tego:

$P\left(A\right)=P_{12}\left(3\right)=\left(\begin{array}{c}12\\ 3\end{array}\right)\cdot {\left(\frac{1}{100}\right)}^3\cdot {\left(1-\frac{1}{100}\right)}^{12-3}=\frac{12!}{3!\cdot \left(12-3\right)!}\cdot {\left(\frac{1}{100}\right)}^3\cdot {\left(\frac{99}{100}\right)}^9=\frac{12\cdot 11\cdot 10\cdot \cancel{9!}}{3\cdot 2\cdot 1\cdot \cancel{9!}}\cdot {\left(\frac{1}{100}\right)}^3\cdot {\left(\frac{99}{100}\right)}^9=220\cdot {\left(\frac{1}{100}\right)}^3\cdot {\left(\frac{99}{100}\right)}^9\approx 0,000201$  

---

f) Przyjmijmy, że:

A - Karp waży więcej niż 1 kg.

Za sukces uznajemy to, że wyciągnięto karpia o masie ponad 1 kg. Mamy więc: 

$n=10$  

$k=6$  

$p=\frac{3}{5}$  

Wobec tego:

$P\left(A\right)=P_{10}\left(6\right)=\left(\begin{array}{c}10\\ 6\end{array}\right)\cdot {\left(\frac{3}{5}\right)}^6\cdot {\left(1-\frac{3}{5}\right)}^{10-6}=\frac{10!}{6!\cdot \left(10-6\right)!}\cdot \frac{729}{15625}\cdot {\left(\frac{2}{5}\right)}^4=\frac{10\cdot 9\cdot 8\cdot 7\cdot \cancel{6!}}{\cancel{6!}\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}\cdot \frac{729}{15625}\cdot \frac{16}{625}=210\cdot \frac{11664}{965625}=\frac{489888}{1953125}\approx 0,2508$