O ciągu arytmetycznym (a_n) wiadomo, że

• $a_{10}=1$  
• $a_{40}=11$  

---

Oznaczmy przez r różnicę tego ciągu. 

---

Korzystając ze wzoru na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego dostajemy 

• $a_{10}=a_1+9r\Rightarrow \underline{\underline{1=a_1+9r}}$  

oraz 

• $a_{40}=a_1+39r\Rightarrow \underline{\underline{11=a_1+39r}}$  

---

Z powyższych równań otrzymujemy układ równań postaci 

$\{\begin{array}{l}{a}_1+9r=1\\ a_1+39r=11\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}{a}_1=1-9r\\ 1-9r+39r=11\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}{a}_1=1-9r\\ 30r=10\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}{a}_1=1-9r\\ r=\frac{1}{3}\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}{a}_1=1-3=-2\\ r=\frac{1}{3}\end{array}$  

---

Korzystając ze wzoru na sumę początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego wyznaczamy sumę wyrazów tego ciągu 

$S_{40}=\frac{a_1+a_{40}}{2}\cdot 40=\left(a_1+a_{40}\right)\cdot 20=\left(-2+11\right)\cdot 20=9\cdot 20=180$  

---

Odp. Suma wszystkich wyrazów tego ciągu wynosi 180.