a) Rzucamy trzy razy monetą. Przestrzeń zdarzeń elementarnych to w tym przypadku:

$\Omega =\left\{\left(\text{O, O, O}\right),\left(\text{O, O, R}\right),\left(\text{O, R, O}\right),\left(\text{R, O, O}\right),\left(\text{O, R, R}\right),\left(\text{R, O, R}\right),\left(\text{R, R, O}\right),\left(\text{R, R, R}\right)\right\},$

gdzie O oznacza wyrzucenie orła, a R - reszki.

Liczba wszystkich zdarzeń elementarnych jest równa: 

$N=8$  

Oznaczmy: 

A - "wyrzucenie 3 orłów lub 3 reszek"

B - "wyrzucenie 2 orłów"

C - "wyrzucenie 2 reszek"

Wypiszemy zdarzenia elementarne sprzyjające zdarzeniom A, B i C. 

$A=\left\{\left(\text{O, O, O}\right),\left(\text{R, R, R}\right)\right\}$  

$B=\left\{\left(\text{O, O, R}\right),\left(\text{O, R, O}\right),\left(\text{R, O, O}\right)\right\}$  

$C=\left\{\left(\text{O, R, R}\right),\left(\text{R, O, R}\right),\left(\text{R, R, O}\right)\right\}$  

Wyznaczamy prawdopodobieństwa tych zdarzeń.

$P\left(A\right)=\frac{2}{8}=\frac{1}{4}$  

$P\left(B\right)=\frac{3}{8}$  

$P\left(C\right)=\frac{3}{8}$  

Jeśli wyrzucimy 3 orły lub 3 reszki, to wygrywamy 100 zł, gdy wypadną 2 orły - wygrywamy 5 zł, w pozostałych wypadkach przegrywamy 10 zł.

Obliczamy wartość oczekiwaną.

$\mathbb{E}\mathtt{Z}=P\left(A\right)\cdot 100+P\left(B\right)\cdot 5+P\left(C\right)\cdot \left(-10\right)=\frac{1}{4}\cdot 100+\frac{3}{8}\cdot 5+\frac{3}{8}\cdot \left(-10\right)=25+\frac{15}{8}-\frac{15}{4}=25+\frac{15}{8}-\frac{30}{8}=\frac{200}{8}-\frac{15}{8}=\frac{185}{8}=23\frac{1}{8}=23,125\approx 23,12\left[\text{zł}\right]$  

---

b) W pudełku mamy kule z numerami od 1 do 9 (włącznie). Wyciągami trzy kule. Możemy to zrobić na 9·8·7=504 sposoby (najpierw wyciągamy jedną z 9 kul, później do tak wybranej kuli dobieramy jedną z pozostałych 8 kul, a na koniec losujemy jedną z 7 kul). Wobec tego:

$N=504$  

Oznaczmy: 

A - "wylosowanie 3 kul z liczbami nieparzystymi"

B - "wylosowanie 3 kul z liczbami parzystymi"

C - "wylosowanie 2 kul z liczbami nieparzystymi lub 2 kul z liczbami parzystymi"

Wśród liczb 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 i 9 mamy 5 liczb nieparzystych i 4 liczby parzyste. Wyznaczamy liczby zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniom A, B i C.

$n_A=5\cdot 4\cdot 3=60$  

$n_B=4\cdot 3\cdot 2=24$  

$n_C=504-\left(60+24\right)=504-84=420$  

Wyznaczamy prawdopodobieństwa tych zdarzeń.

$P\left(A\right)=\frac{60}{504}=\frac{5}{42}$  

$P\left(B\right)=\frac{24}{504}=\frac{1}{21}$  

$P\left(C\right)=\frac{420}{504}=\frac{5}{6}$  

Jeśli wylosujemy 3 kule z liczbami nieparzystymi, to przegrywamy 20 zł, gdy wylosujemy 3 kule z liczbami parzystymi - wygrywamy 10 zł, w pozostałych wypadkach wygrywamy 1 zł.

Obliczamy wartość oczekiwaną.

$\mathbb{E}\mathtt{Z}=P\left(A\right)\cdot \left(-20\right)+P\left(B\right)\cdot 10+P\left(C\right)\cdot 1=\frac{5}{42}\cdot \left(-20\right)+\frac{1}{21}\cdot 10+\frac{5}{6}\cdot 1=-\frac{50}{21}+\frac{10}{21}+\frac{5}{6}=-\frac{40}{21}+\frac{5}{6}=-\frac{80}{42}+\frac{35}{42}=-\frac{45}{42}=\frac{15}{14}\left[\text{zł}\right]$