a) Określimy liczbę punktów wspólnych prostej i paraboli.

$\{\begin{array}{l}y=-2x+1\\ y=x^2+2x-4\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}y=-2x+1\\ -2x+1=x^2+2x-4\mid +2x\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}y=-2x+1\\ 1=x^2+4x-4\mid -1\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}y=-2x+1\\ 0=x^2+4x-5\end{array}$  

Obliczamy wyróżnik trójmianu kwadratowego.

$\Delta =4^2-4\cdot 1\cdot \left(-5\right)=16+20=36>0$  

Równanie kwadratowe ma zatem dwa rozwiązania, więc i układ równań będzie miał dwa rozwiązania. Nie wyznaczamy tych rozwiązań, ponieważ mamy jedynie określić ich liczbę.

Prosta i parabola mają dwa punkty wspólne.

---

b) Określimy liczbę punktów wspólnych prostej i paraboli.

$\{\begin{array}{l}3x-y+1=0\mid +y\\ y=\frac{1}{4}{x}^2+x+1\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}3x+1=y\\ y=\frac{1}{4}{x}^2+x+1\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}y=3x+1\\ 3x+1=\frac{1}{4}{x}^2+x+1\mid -3x\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}y=3x+1\\ 1=\frac{1}{4}{x}^2-2x+1\mid -1\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}y=3x+1\\ 0=\frac{1}{4}{x}^2-2x\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}y=3x+1\\ 0=x\left(\frac{1}{4}x-2\right)\end{array}$  

Iloczyn dwóch liczb jest równy 0, jeżeli co najmniej jedna z tych liczb jest równa 0. Zatem równanie drugie ma dwa rozwiązania, a więc i układ równań będzie miał dwa rozwiązania. Nie wyznaczamy tych rozwiązań, ponieważ mamy jedynie określić ich liczbę.

Prosta i parabola mają dwa punkty wspólne.

---

c) Określimy liczbę punktów wspólnych prostej i paraboli.

$\{\begin{array}{l}x-2y+3=0\mid +2y\\ y=5x^2-2,5x+3\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}x+3=2y\mid :2\\ y=5x^2-2,5x+3\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}0,5x+1,5=y\\ y=5x^2-2,5x+3\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}y=0,5x+1,5\\ 0,5x+1,5=5x^2-2,5x+3\mid -0,5x\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}y=0,5x+1,5\\ 1,5=5x^2-3x+3\mid -1,5\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}y=0,5x+1,5\\ 0=5x^2-3x+1,5\end{array}$  

Obliczamy wyróżnik trójmianu kwadratowego.

$\Delta ={\left(-3\right)}^2-4\cdot 5\cdot 1,5=9-30=-21<0$  

Równanie kwadratowe nie ma zatem rozwiązań, więc i układ równań nie będzie miał rozwiązań. 

Prosta i parabola nie mają punktów wspólnych.

---

d) Określimy liczbę punktów wspólnych prostej i paraboli.

$\{\begin{array}{l}x-y+1=0\mid +y\\ y=-\frac{1}{4}{x}^2+x+1\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}x+1=y\\ y=-\frac{1}{4}{x}^2+x+1\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}y=x+1\\ x+1=-\frac{1}{4}{x}^2+x+1\mid -x\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}y=x+1\\ 1=-\frac{1}{4}{x}^2+1\mid -1\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}y=x+1\\ 0=-\frac{1}{4}{x}^2\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}y=x+1\\ 0=x^2\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}y=x+1\\ 0=x\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}y=0+1\\ x=0\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}y=1\\ x=0\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}x=0\\ y=1\end{array}$  

Układ równań ma jedno rozwiązanie.

Prosta i parabola mają jeden punkt wspólny.