Przyjrzyjmy się poniższemu rysunkowi 

---

Styczna do okręgu jest prostopadła do promienia okręgu poprowadzonego do punktu styczności, czyli 

$\left|\sphericalangle OBS\right|=\left|\sphericalangle OAS\right|={90}^{\circ }$  

---

Rozważmy czworokąt SAOB. 

Korzystając z faktu, że suma miar kątów w czworokącie jest równa 360°, mamy  

$\alpha ={360}^{\circ }-\left({40}^{\circ }+{90}^{\circ }+{90}^{\circ }\right)={360}^{\circ }-{220}^{\circ }={140}^{\circ }$  

---

Zauważmy, że pole zacieniowanego odcinka koła jest równe różnicy pola wycinka koła wyznaczonego przez kąt środkowy 𝛼 i pola trójkąta AOB. 

---

Wyznaczamy pole  wycinka koła wyznaczonego przez kąt środkowy 𝛼

$P_w=\frac{\alpha }{{360}^{\circ }}\cdot \pi \cdot 4^2=\frac{{140}^{\circ }}{{360}^{\circ }}\cdot 16\pi =\frac{7}{18}\cdot 16\pi =\frac{56}{9}\pi$  

---

Wyznaczamy pole trójkąta równoramiennego AOB

$P_{AOB}=\frac{1}{2}\cdot 4\cdot 4\cdot \sin \alpha =8\cdot \sin {140}^{\circ }=8\cdot \sin \left({180}^{\circ }-{40}^{\circ }\right)=8\cdot \sin {40}^{\circ }$  

---

Wyznaczamy pole zacieniowanego odcinka koła

$P=P_w-P_{AOB}=\frac{56}{9}\pi -8\sin {40}^{\circ }$