Rysunek pomocniczy

---

Oznaczmy przez R>0 promień okręgu o środku S. 

---

Rozważmy kwadrat ABCD. 

Zauważmy, przekątna kwadratu jest średnicą okręgu opisanego na tym kwadracie, czyli 

$a\sqrt{2}=2R$  

skąd mamy 

$a=\frac{2R}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}R$  

Wyznaczamy obwód kwadratu:

$L_1=4a=4\sqrt{2}R$  

---

Rozważmy trójkąt równoboczny KLM. 

Wyznaczmy długość wysokości tego trójkąta:

$h=\frac{b\sqrt{3}}{2}$   

Promień okręgu opisanego na trójkącie równobocznym jest równy ²/₃h, czyli 

$R=\frac{2}{3}h$  

$R=\frac{2}{3}\cdot \frac{b\sqrt{3}}{2}$  

$R=\frac{b}{\sqrt{3}}\mid \cdot \sqrt{3}$  

$\sqrt{3}R=b$  

Wyznaczamy obwód trójkąta równobocznego:

$L_2=3b=3\sqrt{3}R$  

---

Sprawdzamy ile razy większy jest obwód kwadratu od obwodu trójkąta:

$\frac{L_1}{L_2}=\frac{4\sqrt{2}R}{3\sqrt{3}R}=\frac{4\sqrt{2}}{3\sqrt{3}}=\dots$  

usuwamy niewymierność z mianownika ułamka i mamy 

$\dots =\frac{4\sqrt{2}\cdot \sqrt{3}}{3\sqrt{3}\cdot \sqrt{3}}=\frac{4\sqrt{6}}{9}$  

---

Odp. D.