$\left(2\sqrt{48}-\sqrt{108}+8\sqrt{3}+3\sqrt{300}\right):\sqrt{75}=$  

$=\left(2\sqrt{16\cdot 3}-\sqrt{36\cdot 3}+8\sqrt{3}+3\sqrt{100\cdot 3}\right):\sqrt{25\cdot 3}=$  

$=\left(2\sqrt{16}\cdot \sqrt{3}-\sqrt{36}\cdot \sqrt{3}+8\sqrt{3}+3\cdot \sqrt{100}\cdot \sqrt{3}\right):\left(\sqrt{25}\cdot \sqrt{3}\right)=$  

$=\left(2\cdot 4\cdot \sqrt{3}-6\sqrt{3}+8\sqrt{3}+3\cdot 10\cdot \sqrt{3}\right):5\sqrt{3}=$      

$=\left(8\sqrt{3}-6\sqrt{3}+8\sqrt{3}+30\sqrt{3}\right):5\sqrt{3}=$  

$=40\sqrt{3}:5\sqrt{3}=8\in \mathbb{Z}$   - jest to liczba całkowita, co należało pokazać