Pole powierzchni całkowitej ostrosłupa to suma pól wszystkich ścian bocznych, czyli powierzchni bocznej oraz pola podstawy.

 

Podstawą ostrosłupa prawidłowego sześciokątnego jest sześciokąt foremny (złożony z sześciu przystających trójkątów równobocznych).

Pole trójkąta równobocznego o boku długości  $a$  możemy obliczyć ze wzoru:

$P=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$  

Pole trójkąta równobocznego o boku długości $4\sqrt{3}$  jest równe

$P_{=}\frac{{\left(4\sqrt{3}\right)}^2\sqrt{3}}{4}=\frac{48\sqrt{3}}{4}=12\sqrt{3}$  

Pole podstawy tego ostrosłupa jest zatem równe

$P_p=6\cdot 12\sqrt{3}=72\sqrt{3}$  

 

Obliczamy wysokość ściany bocznej ostrosłupa - oznaczamy ją przez $h$ .

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa otrzymujemy:

$h^2=8^2-{\left(2\sqrt{3}\right)}^2$  

$h^2=64-12$  

$h^2=52$  

$h=\sqrt{52}=\sqrt{4\cdot 13}=2\sqrt{13}$  

Obliczamy pole jednej ściany bocznej.

$P=\frac{1}{2}\cdot 4\sqrt{3}\cdot 2\sqrt{13}=4\sqrt{39}$  

Pole powierzchni bocznej tego ostrosłupa jest sumą pól sześciu przystających trójkątów. 

$P_b=6\cdot 4\sqrt{39}=24\sqrt{39}$  

 

Obliczamy pole powierzchni całkowitej tego ostrosłupa.

$P_c=P_p+P_b$

$P_c=72\sqrt{3}+24\sqrt{39}$  

 

Odpowiedź: Pole powierzchni całkowitej tego ostrosłupa jest równe  $72\sqrt{3}+24\sqrt{39}$ .