a)

Obliczymy ile jest liczb siedmiocyfrowych o różnych cyfrach należących do zbioru {3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} i jednocześnie mniejszych od 5 000 000.

Skoro otrzymana liczba ma być mniejsza od 5 000 000 to cyfrę milionów możemy wybrać na 2 sposoby (spośród cyfr 3 lub 4), pozostałe 6 cyfr możemy ustawić na 6 miejscach na 6! sposobów.

Zgodnie z regułą mnożenia wszystkich możliwości mamy

$2\cdot 6!=2\cdot 1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5\cdot 6=1440$

---

b)

Obliczymy ile jest liczb siedmiocyfrowych o różnych cyfrach należących do zbioru {3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} i jednocześnie większych od 6 500 000.

Rozważmy przypadki.

1. Cyfra milionów w otrzymanej liczbie siedmiocyfrowej jest równa 6.

Wtedy:

• Cyfrę milionów wybieramy na 1 sposób (ma być równa 6).
• Cyfrę setek tysięcy możemy wybrać ze zbioru {5, 7, 8, 9}, czyli na 4 sposoby;
• Pozostałe 5 cyfr ustawiamy na 5 pozostałych miejscach na 5! sposobów.

Zgodnie z regułą mnożenia wszystkich możliwości mamy

$1\cdot 4\cdot 5!=4\cdot 1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5=480$

2. Cyfra milionów w otrzymanej liczbie siedmiocyfrowej jest większa od 6.

Wtedy:

• Cyfrę milionów możemy wybrać ze zbioru {7, 8, 9}, czyli na 3 sposoby;
• Pozostałe 6 cyfr ustawiamy na 6 pozostałych miejscach na 6! sposobów.

Zgodnie z regułą mnożenia wszystkich możliwości mamy

$3\cdot 6!=3\cdot 1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5\cdot 6=2160$

Z przypadków 1. i 2. dostajemy, że wszystkich liczb siedmiocyfrowych o różnych cyfrach należących do zbioru {3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} i jednocześnie większych od 6 500 000 jest

$480+2160=2640$