a)

Obliczymy ile jest liczb trzycyfrowych o różnych cyfrach, podzielnych przez 25.

Przypomnijmy, że liczby podzielne przez 25 to liczby których dwie ostatnie cyfry są równe 00, 25, 50 lub 75.

Rozważmy przypadki:

I. W liczbie trzycyfrowej cyfra jedności jest równa 5.

Wtedy:

• Cyfra jedności jest równa 5 (1 możliwość);
• Żeby otrzymana liczba była podzielna przez 25 cyfrę dziesiątek możemy wybrać ze zbioru {2, 7}, czyli na 2 sposoby;
• Cyfra setek musi być różna od cyfry jedności (różna od 5) i cyfry dziesiątek, czyli mamy pomniejszoną o jedną możliwość wyboru cyfry ze zbioru {1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9}, czyli możemy wybrać ją na 8 - 1 = 7 sposobów.

Zgodnie z regułą mnożenia dostajemy, że wszystkich takich liczb jest

$\underline{1\cdot 2\cdot 7=14}$

II. W liczbie trzycyfrowej cyfra jedności jest równa 0.

Wtedy:

• Cyfra jedności jest równa 0 (1 sposób);
• Żeby otrzymana liczba była podzielna przez 25 i miała różne cyfry, cyfra dziesiątek musi być równa 5 (1 możliwość);
• Cyfra setek musi być różna od cyfry jedności i cyfry dziesiątek, czyli możemy wybrać ją ze zbioru {1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9}, czyli na 8 sposobów.

Zgodnie z regułą mnożenia dostajemy, że wszystkich takich liczb jest

$\underline{1\cdot 1\cdot 8=8}$

Zatem z przypadków I i II dostajemy, że liczb trzycyfrowych o różnych cyfrach, podzielnych przez 25 jest

$\underline{\underline{14+8=22}}$

---

b)

Przypomnijmy, że liczb jest podzielna przez 4, gdy jej dwie ostatnie cyfry tworzą liczbę podzielną przez 4.

Rozważmy przypadki:

I. W liczbie trzycyfrowej cyfra jedności jest równa 0.

Wtedy:

• Cyfra jedności jest równa 0, czyli wybieramy ją na 1 sposób;
• Żeby otrzymana liczba była podzielna przez 4 i miała różne cyfry, cyfrę dziesiątek możemy wybrać ze zbioru {2, 4, 6, 8} czyli na 4 sposoby;
• Cyfra setek musi być różna od cyfry jedności i cyfry dziesiątek, czyli mamy pomniejszoną o jedną możliwość wyboru cyfry ze zbioru {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, czyli możemy wybrać ją na 9 - 1 = 8 sposobów.

Zgodnie z regułą mnożenia dostajemy, że wszystkich takich liczb jest

$\underline{1\cdot 4\cdot 8=32}$

II. W liczbie trzycyfrowej cyfra dziesiątek jest równa 0.

Wtedy:

• Cyfra dziesiątek jest równa 0, czyli wybieramy ją na 1 sposób;
• Żeby otrzymana liczba była podzielna przez 4 i miała różne cyfry, cyfrę jedności możemy wybrać ze zbioru {4, 8} czyli na 2 sposoby;
• Cyfra setek musi być różna od cyfry jedności i cyfry dziesiątek, czyli mamy pomniejszoną o jedną możliwość wyboru cyfry ze zbioru {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, czyli możemy wybrać ją na 9 - 1 = 8 sposobów.

Zgodnie z regułą mnożenia dostajemy, że wszystkich takich liczb jest

$\underline{1\cdot 2\cdot 8=16}$

III. W liczbie trzycyfrowej cyfra dziesiątek i cyfra jedności są różne od zera.

Wtedy:

• Żeby otrzymana liczba trzycyfrowa była podzielna przez 4 i miała różne cyfry to dwie ostanie cyfry tej liczby wybieramy ze zbioru {12, 16, 24, 28, 32, 36, 48, 52, 56, 64, 68, 72, 76, 84, 92, 96}, czyli możemy wybrać je na 16 sposobów.
• Cyfra setek musi być różna od cyfry jedności i cyfry dziesiątek, czyli mamy pomniejszoną o dwie możliwość wyboru cyfry ze zbioru {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, czyli możemy wybrać ją na 9 - 2 = 7 sposobów.

Zgodnie z regułą mnożenia dostajemy, że wszystkich takich liczb jest

$\underline{16\cdot 7=112}$

Zatem z przypadków I, II i III dostajemy, że liczb trzycyfrowych o różnych cyfrach, podzielnych przez 4 jest

$\underline{\underline{32+16+112=160}}$