Założenie:

a ≠ 0, b ≠ 0, c ≠ 0, 

(a, b, c) - ciąg geometryczny. 

Teza:

$a^2{b}^2{c}^2\cdot \left(\frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3}+\frac{1}{c^3}\right)=a^3+b^3+c^3$

Dowód:

Ciąg (a, b, c) jest geometryczny. 

Korzystając z zależności między trzema kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego mamy

$b^2=ac\left(\text{*}\right)$  

Zatem mamy 

$a^2{b}^2{c}^2\cdot \left(\frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3}+\frac{1}{c^3}\right)=a^2{b}^2{c}^2\cdot \left(\frac{b^3{c}^3}{a^3{b}^3{c}^3}+\frac{a^3{c}^3}{a^3{b}^3{c}^3}+\frac{a^3{b}^3}{a^3{b}^3{c}^3}\right)=$  

$=a^2{b}^2{c}^2\cdot \frac{b^3{c}^3+a^3{c}^3+a^3{b}^3}{a^3{b}^3{c}^3}=\frac{b^3{c}^3+a^3{c}^3+a^3{b}^3}{abc}=\dots$   

korzystając z (*) mamy 

$\dots =\frac{b^3{c}^3+{\left(ac\right)}^3+a^3{b}^3}{ac\cdot b}=\frac{b^3{c}^3+{\left(b^2\right)}^3+a^3{b}^3}{b^2\cdot b}=$  

$=\frac{b^3{c}^3+b^6+a^3{b}^3}{b^3}=\frac{b^3\left(c^3+b^3+a^3\right)}{b^3}=a^3+b^3+c^3$  

czyli otrzymaliśmy, że 

$a^2{b}^2{c}^2\cdot \left(\frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3}+\frac{1}{c^3}\right)=a^3+b^3+c^3$  

c.n.d.