Wiadomo, że suma n początkowych wyrazów ciągu  (a_n) wyraża się wzorem 

$S_n=\frac{\left(n+1\right)\left(n+2\right)}{2},n\in {\mathbb{N}}_{+}$  

---

a)

Zauważmy, że

$S_1=a_1$  

Zatem 

$a_1=S_1=\frac{\left(1+1\right)\left(1+2\right)}{2}=\frac{2\cdot 3}{2}=3$  

---

b)

$S_6=\frac{\left(6+1\right)\left(6+2\right)}{2}=\frac{7\cdot 8}{2}=28$  

---

c)

Zauważmy, że  

$S_4=a_1+a_2+a_3+a_4$  

$S_5=a_1+a_2+a_3+a_4+a_5$  

czyli

$a_5=S_5-S_4$  

Zatem

$a_5=S_5-S_4=\frac{\left(5+1\right)\left(5+2\right)}{2}-\frac{\left(4+1\right)\left(4+2\right)}{2}=\frac{6\cdot 7}{2}-\frac{5\cdot 6}{2}=21-15=6$  

---

d) 

Podobnie jak w przykładzie c) zauważmy, że 

$S_{12}=a_1+a_2+\dots +a_8+a_9+a_{10}+a_{11}+a_{12}$   

$S_8=a_1+a_2+\dots +a_8$  

czyli 

$a_9+a_{10}+a_{11}+a_{12}=S_{12}-S_8$  

Zatem 

$a_9+a_{10}+a_{11}+a_{12}=S_{12}-S_8=\frac{\left(12+1\right)\left(12+2\right)}{2}-\frac{\left(8+1\right)\left(8+2\right)}{2}=$  

$=\frac{13\cdot 14}{2}-\frac{9\cdot 10}{2}=91-45=46$  

---

---

Wyznaczymy ogólny wyraz ciągu (a_n).

Postępując podobnie jak w poprzednich podpunktach mamy 

$S_n=a_1+a_2+\dots +a_{n-1}+a_n$  

$S_{n-1}=a_1+a_2+\dots +a_{n-1}$  

czyli 

$a_n=S_n-S_{n-1}=\frac{\left(n+1\right)\left(n+2\right)}{2}-\frac{\left(\left(n-1\right)+1\right)\left(\left(n-1\right)+2\right)}{2}=$  

$=\frac{n^2+2n+n+2}{2}-\frac{n\left(n+1\right)}{2}=\frac{n^2+3n+2-n\left(n+1\right)}{2}=$  

$=\frac{n^2+3n+2-n^2-n}{2}=\frac{2n+2}{2}=\frac{2\left(n+1\right)}{2}=n+1$  

więc 

$\underline{\underline{a_n=n+1,n>1}}$  

(założenie n > 1 jest konieczne, ponieważ a₁ = 3).