Rozwiąż równanie...- Zadanie 29: Matematyka 3. Zakres rozszerzony

Rozwiązanie

$x^{2} - 4 x - 2 = \frac{15}{x ^{2} - 4 x}$

Dziedzina:

$x^{2} - 4 x \neq = 0$

$x (x - 4) \neq = 0$

$x \neq = 0 \land x \neq = 4$

czyli

$\underline{x \in R \ {0, 4}}$

Użyjemy podstawienia

$t = x^{2} - 4 x, t \neq = 0$

wówczas równanie jest postaci

$t - 2 = \frac{15}{t} ∣ \cdot t$

$t^{2} - 2 t = 15$

$t^{2} - 2 t - 15 = 0$

$Δ_{t} = (- 2)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 15) = 4 + 60 = 64$

$Δ_{t} = 8$

$t_{1} = \frac{2 - 8}{2} = - 3$

$t_{2} = \frac{2 + 8}{2} = 5$

wracając do podstawienia otrzymujemy:

$t = - 3$

$x^{2} - 4 x = - 3$

$x^{2} - 4 x + 3 = 0$

$Δ_{1} = (- 4)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 4, Δ_{1} = 2$

$x = \frac{4 - 2}{2} = 1 \lor x = \frac{4 + 2}{2} = 3$

$t = 5$

$x^{2} - 4 x = 5$

$x^{2} - 4 x - 5 = 0$

$Δ_{2} = (- 4)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 5) = 36, Δ_{2} = 6$

$x = \frac{4 - 6}{2} = - 1 \lor x = \frac{4 + 6}{2} = 5$

czyli równanie ma cztery rozwiązania

$x \in {- 1, 1, 3, 5}$

$\frac{x - 2}{x - 3} - ∣ x - 4 ∣ = 2$

Dziedzina:

$x - 3 \neq = 0$

$x \neq = 3$

Rozważmy przypadki:

1. x ≥ 4

wówczas wyrażenie wewnątrz wartości bezwzględnej jest nieujemne.

Opuszczamy znak wartości bezwzględnej i otrzymujemy

$\frac{x - 2}{x - 3} - (x - 4) = 2 ∣ \cdot (x - 3)$

$x - 2 - (x - 4) (x - 3) = 2 (x - 3)$

$x - 2 - (x^{2} - 7 x + 12) = 2 x - 6$

$- x^{2} + 6 x - 8 = 0$

$Δ = 6^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 8) = 36 - 32 = 4$

$Δ = 2$

$x_{1} = \frac{- 6 - 2}{- 2} = 4$

$x_{2} = \frac{- 6 + 2}{- 2} = 2$

uwzględniając założenie (x ≥ 4) dostajemy, że

$x = 4$

2. x < 4

wówczas wyrażenie wewnątrz wartości bezwzględnej jest ujemne.

Opuszczamy znak wartości bezwzględnej i otrzymujemy

$\frac{x - 2}{x - 3} + (x - 4) = 2 ∣ \cdot (x - 3)$

$x - 2 + (x - 4) (x - 3) = 2 (x - 3)$

$x - 2 + x^{2} - 7 x + 12 = 2 x - 6$

$x^{2} - 8 x + 16 = 0$

$(x - 4)^{2} = 0 ∣$

$x - 4 = 0$

$x = 4$

uwzględniając założenie (x < 4) dostajemy, że równanie nie ma rozwiązania.

Zatem z przypadków 1) i 2) dostajemy, że równanie ma jedno rozwiązanie

$x = 4$

$\frac{x ^{2} - 4 x + 3}{x ^{2} + ∣ x - 5 ∣} = 1, x \in R$

Rozwiązujemy równanie i otrzymujemy

$\frac{∣ x ( x - 4 ) ∣ + 3}{x ^{2} + ∣ x - 5 ∣} = 1 ∣ \cdot (x^{2} + ∣ x - 5 ∣)$

$∣ x ∣ \cdot ∣ x - 4 ∣ + 3 = x^{2} + ∣ x - 5 ∣$

Zauważmy, że

wyrażenie wewnątrz pierwszej wartości jest równa zero, gdy x = 0;
wrażenie wewnątrz drugiej wartości bezwzględnej jest równe zero, gdy x = 4;
wyrażenie wewnątrz trzeciej wartości bezwzględnej jest równe zero, gdy x = 5.

Rozważmy więc przypadki:

1. x < 0

wówczas wszystkie wyrażenia znajdujące się wewnątrz wartości bezwzględnych są ujemne. Zatem po opuszczeniu znaku wartości bezwzględnej otrzymujemy

$x (x - 4) + 3 = x^{2} - (x - 5)$

$x^{2} - 4 x + 3 = x^{2} - x + 5$

$- 3 x = 2 ∣ : (- 3)$

$x = - \frac{2}{3}$

2. 0 ≤ x < 4

wówczas wyrażenie znajdujące się wewnątrz pierwszej wartości bezwzględnej jest nieujemne, a wyrażenia znajdujące się wewnątrz drugiej i trzeciej wartości bezwzględnej są ujemne. Zatem po opuszczeniu znaku wartości bezwzględnej otrzymujemy

$- x \cdot (x - 4) + 3 = x^{2} - (x - 5)$

$- x^{2} + 4 x + 3 = x^{2} - x + 5$

$- 2 x^{2} + 5 x - 2 = 0$

$Δ = 5^{2} - 4 \cdot (- 2) \cdot (- 2) = 25 - 16 = 9$

$Δ = 3$

$x_{1} = \frac{- 5 - 3}{2 \cdot ( - 2 )} = 2$

$x_{2} = \frac{- 5 + 3}{2 \cdot ( - 2 )} = \frac{1}{2}$

3. 4 ≤ x < 5

wówczas wyrażenia znajdujące się wewnątrz pierwszej i drugiej wartości bezwzględnej są nieujemne, a wyrażenie znajdujące się wewnątrz trzeciej wartości bezwzględnej jest ujemne. Zatem po opuszczeniu znaku wartości bezwzględnej otrzymujemy

$x \cdot (x - 4) + 3 = x^{2} - (x - 5)$