a)

Dana jest funkcja f postaci 

$f\left(x\right)=\frac{-4x+b}{x+c},x\ne -c$  

Korzystając z wykresu dostajemy, że dziedziną funkcji f jest zbiór 

$D=\mathbb{R}\backslash \left\{3\right\}$

czyli 

$-c=3$  

$c=-3$  

Dodatkowo wiadomo, że do wykresu funkcji f należy punkt A = (4,-6), więc

$f\left(4\right)=-6$  

$\frac{-4\cdot 4+b}{4-3}=-6$  

$\frac{-16+b}{1}=-6$  

$-16+b=-6$  

$b=10$  

czyli 

$f\left(x\right)=\frac{-4x+10}{x-3}$  

 

Odp. b=10, c=-3.

---

b)

$\left|f\left(-\pi \right)\right|+f\left(\pi \right)=\left|\frac{-4\cdot \left(-\pi \right)+10}{-\pi -3}\right|+\frac{-4\pi +10}{\pi -3}=$   

$=\left|\frac{4\pi +10}{-\left(\pi +3\right)}\right|+\frac{10-4\pi }{\pi -3}=\left|-\frac{4\pi +10}{\pi +3}\right|+\frac{10-4\pi }{\pi -3}=$  

wyrażenie znajdujące się wewnątrz wartości bezwzględnej jest liczbą ujemną, zatem po opuszczeniu znaku wartości bezwzględnej mamy 

$=-\left(-\frac{4\pi +10}{\pi +3}\right)+\frac{10-4\pi }{\pi -3}=\frac{4\pi +10}{\pi +3}+\frac{10-4\pi }{\pi -3}=$  

$=\frac{\left(4\pi +10\right)\left(\pi -3\right)}{\left(\pi +3\right)\left(\pi -3\right)}+\frac{\left(10-4\pi \right)\left(\pi +3\right)}{\left(\pi +3\right)\left(\pi -3\right)}=$  

$=\frac{4{\pi }^2-12\pi +10\pi -30+10\pi +30-4{\pi }^2-12\pi }{\left(\pi +3\right)\left(\pi -3\right)}=\frac{-4\pi }{\left(\pi +3\right)\left(\pi -3\right)}$  

Przypomnijmy, że 𝜋 ≈ 3,14 więc licznik ułamka jest liczbą ujemną a w mianowniku ułamka mamy iloczyn liczb dodatnich, czyli liczbę dodatnią. Iloraz liczby ujemnej i dodatniej jest ujemny, czyli 

$\left|f\left(-\pi \right)\right|+f\left(\pi \right)=\frac{-4\pi }{\left(\pi +3\right)\left(\pi -3\right)}<0$  

---

c)

$f\left(1-\sqrt{2}\right)=\frac{-4\cdot \left(1-\sqrt{2}\right)+10}{1-\sqrt{2}-3}=$  

$=\frac{-4+4\sqrt{2}+10}{-\sqrt{2}-2}=\frac{6+4\sqrt{2}}{-\left(\sqrt{2}+2\right)}\cdot \frac{\sqrt{2}-2}{\sqrt{2}-2}=$  

$=\frac{6\sqrt{2}-12+8-8\sqrt{2}}{-\left({\sqrt{2}}^2-2^2\right)}=\frac{-4-2\sqrt{2}}{-\left(2-4\right)}=\frac{-4-2\sqrt{2}}{2}=-2-\sqrt{2}$  

czyli punkt 

$B=\left(1-\sqrt{2},-2-\sqrt{2}\right)$  

należy do wykresu funkcji f.