a)

$\frac{-3x^2-x+10}{x+2}\ge 2x$

Założenie:

$x+2\ne 0$  

$x\ne -2$  

 

Trójmian znajdujący się w liczniku ułamka zapisujemy w postaci iloczynowej i otrzymujemy 

$\underset{\Delta =121,x_1=\frac{5}{3},x_2=-2}{\underbrace{-3x^2-x+10}}=-3\left(x-\frac{5}{3}\right)\left(x+2\right)=\left(-3x+5\right)\left(x+2\right)$  

 

Rozwiązujemy nierówność i otrzymujemy

$\frac{-3x^2-x+10}{x+2}\ge 2x$  

$\frac{\left(-3x+5\right)\left(x+2\right)}{x+2}\ge 2x$  

$-3x+5\ge 2x$  

$-5x\ge -5\mid :\left(-5\right)$  

$x\le 1$  

uwzględniając założenie dostajemy 

$x\in \left(-\infty ,-2\right)\cup (-2,1⟩$   

---

b)

$\frac{-2x^2+4x+6}{x-3}\le x$  

Założenie:

$x-3\ne 0$  

$x\ne 3$  

 

Trójmian znajdujący się w liczniku ułamka zapisujemy w postaci iloczynowej i otrzymujemy 

$\underset{\Delta =64,x_1=-1,x_2=3}{\underbrace{-2x^2+4x+6}}=-2\left(x+1\right)\left(x-3\right)$  

 

Rozwiązujemy nierówność i otrzymujemy 

$\frac{-2x^2+4x+6}{x-3}\le x$  

$\frac{-2\left(x+1\right)\left(x-3\right)}{x-3}\le x$  

$-2\left(x+1\right)\le x$  

$-2x-2\le x$  

$-3x\le 2\mid :\left(-3\right)$  

$x\ge -\frac{2}{3}$  

uwzględniając założenie mamy 

$x\in ⟨-\frac{2}{3},3)\cup \left(3,+\infty \right)$  

---

c)

$\frac{x^3-4x^2+x-4}{x^4-1}>0$  

Założenie:

$x^4-1\ne 0$  

$x^4\ne 1$  

$x\ne 1\wedge x\ne -1$  

więc

$x\in \mathbb{R}\backslash \left\{-1,1\right\}$  

 

Rozwiązujemy nierówność i otrzymujemy 

$\frac{x^3-4x^2+x-4}{x^4-1}>0$  

$\frac{x^2\left(x-4\right)+\left(x-4\right)}{{\left(x^2\right)}^2-1^2}>0$  

$\frac{\left(x-4\right)\left(x^2+1\right)}{\left(x^2-1\right)\left(x^2+1\right)}>0$  

$\frac{x-4}{x^2-1}>0\mid \cdot {\left(x^2-1\right)}^2$  

$\left(x-4\right)\left(x^2-1\right)>0$  

$\left(x-4\right)\left(x+1\right)\left(x-1\right)>0$  

szkicujemy przybliżony wykres funkcji y = (x-4)(x+1)(x-1) z zaznaczonymi miejscami zerowymi i otrzymujemy 

 

korzystając z rysunku dostajemy, że rozwiązaniem nierówności jest

$x\in \left(-1,1\right)\cup \left(4,+\infty \right)$  

---

d)

$\frac{2x^3-x^2-6x+3}{1-4x^2}<0$  

Założenie:

$1-4x^2\ne 0$  

$x^2\ne \frac{1}{4}$  

$x\ne -\frac{1}{2}\wedge x\ne \frac{1}{2}$  

więc

$x\in \mathbb{R}\backslash \left\{-\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right\}$  

 

Rozwiązujemy nierówność i otrzymujemy 

$\frac{2x^3-x^2-6x+3}{1-4x^2}<0$  

$\frac{x^2\left(2x-1\right)-3\left(2x-1\right)}{1^2-{\left(2x\right)}^2}<0$  

$\frac{\left(2x-1\right)\left(x^2-3\right)}{\left(1-2x\right)\left(1+2x\right)}<0$  

$\frac{-\left(1-2x\right)\left(x^2-3\right)}{\left(1-2x\right)\left(1+2x\right)}<0$  

$\frac{-\left(x^2-3\right)}{1+2x}<0\mid \cdot {\left(1+2x\right)}^2$  

$-\left(x^2-3\right)\left(1+2x\right)<0$  

$-\left(x+\sqrt{3}\right)\left(x-\sqrt{3}\right)\left(1+2x\right)<0$  

Szkicujemy przybliżony wykres funkcji y = (x+√3)(x-√3)(1+2x) z zaznaczonymi miejscami zerowymi i otrzymujemy 

korzystając z rysunku dostajemy, że rozwiązaniem nierówności jest

$x\in \left(-\sqrt{3},-\frac{1}{2}\right)\cup \left(\sqrt{3},+\infty \right)$  

---

e)

$\frac{5x^2-x^4}{x^2-1}\ge \frac{4}{x^2-1}$  

Założenie:

$x^2-1\ne 0$   

$x^2\ne 1$  

$x\ne -1\wedge x\ne 1$  

więc

$x\in \mathbb{R}\backslash \left\{-1,1\right\}$  

 

Rozwiązujemy nierówność i otrzymujemy 

$\frac{5x^2-x^4}{x^2-1}\ge \frac{4}{x^2-1}$  

$\frac{5x^2-x^4}{x^2-1}-\frac{4}{x^2-1}\ge 0$  

$\frac{-x^4+5x^2-4}{x^2-1}\ge 0$  

$\frac{-x^4+x^2+4x^2-4}{x^2-1}\ge 0$  

$\frac{-x^2\left(x^2-1\right)+4\left(x^2-1\right)}{x^2-1}\ge 0$  

$\frac{\left(x^2-1\right)\left(-x^2+4\right)}{x^2-1}\ge 0$  

$-x^2+4\ge 0$  

$-x^2\ge -4\mid :\left(-1\right)$  

$x^2\le 4$  

$\left|x\right|\le 2$  

$x\le 2\wedge x\ge -2$  

czyli

$x\in ⟨-2,2⟩$  

uwzględniając założenie mamy 

$x\in ⟨-2,-1)\cup \left(-1,1\right)\cup (1,2⟩$  

---

f)

$\frac{3x^3+8x^2+2x}{x^2-4}\le \frac{-1}{x+2}$  

Założenie:

$x^2-4\ne 0$  

$x^2\ne 4$  

$x\ne -2\wedge x\ne 2$   

czyli 

$x\in \mathbb{R}\backslash \left\{-2,2\right\}$  

 

Rozwiązujemy nierówność i otrzymujemy 

$\frac{3x^3+8x^2+2x}{x^2-4}\le \frac{-1}{x+2}$  

$\frac{3x^3+8x^2+2x}{\left(x+2\right)\left(x-2\right)}+\frac{1}{x+2}\le 0$  

  $\frac{3x^3+8x^2+2x}{\left(x+2\right)\left(x-2\right)}+\frac{x-2}{\left(x+2\right)\left(x-2\right)}\le 0$  

$\frac{3x^3+8x^2+3x-2}{\left(x+2\right)\left(x-2\right)}\le 0$  

$\frac{3x^3+6x^2+2x^2+4x-x-2}{\left(x+2\right)\left(x-2\right)}\le 0$  

$\frac{3x^2\left(x+2\right)+2x\left(x+2\right)-\left(x+2\right)}{\left(x+2\right)\left(x-2\right)}\le 0$  

$\frac{\left(x+2\right)\left(3x^2+2x-1\right)}{\left(x+2\right)\left(x-2\right)}\le 0$  

$\frac{3x^2+2x-1}{x-2}\le 0\mid \cdot {\left(x-2\right)}^2$  

$\left(3x^2+2x-1\right)\left(x-2\right)\le 0$

$\left(3x^2+3x-x-1\right)\left(x-2\right)\le 0$  

$\left(3x\left(x+1\right)-\left(x+1\right)\right)\left(x-2\right)\le 0$  

$\left(x+1\right)\left(3x-1\right)\left(x-2\right)\le 0$  

Szkicujemy przybliżony wykres funkcji y = (x+1)(3x-1)(x-2) z zaznaczonymi miejscami zerowymi i otrzymujemy 

korzystając z rysunku dostajemy, że rozwiązaniem nierówności jest 

$x\in (-\infty ,-1⟩\cup ⟨\frac{1}{3},2⟩$  

uwzględniając założenie mamy 

$x\in \left(-\infty ,-2\right)\cup (-2,-1⟩\cup ⟨\frac{1}{3},2)$  

---

UWAGA!!!

Odpowiedź podana na końcu zbioru do podpunktu f) jest błędna. 

Poprawna odpowiedź to:

$x\in \left(-\infty ,-2\right)\cup (-2,-1⟩\cup ⟨\frac{1}{3},2)$