Symetrią środkową względem punktu O nazywamy przekształcenie geometryczne, w którym obrazem każdego punktu A, A ≠ O, jest taki punkt A1, dla którego punkt O jest środkiem odcinka AA1.

---

Dany jest okrąg 

$o:{\left(x+2\right)}^2+{\left(y-1\right)}^2=10$  

Środkiem tego okręgu jest punkt K(-2,1), promień tego okręgu jest równy √10. 

Symetria środkowa jest izometrią- zachowuje kształt i wielkość figury, zatem obrazem okręgu o będzie przystający do niego okrąg o₁. Obrazem środka K okręgu o jest środek K₁ okręgu o₁, a promienie tych okręgów są równe. 

---

a)

Środek K₁ okręgu o₁ jest obrazem punktu K(-2,1) w symetrii środkowej względem punktu S(0,0), czyli

$K_1=\left(-\left(-2\right),-1\right)=\left(2,-1\right)$  

Długość promienia r okręgu o₁ jest taka sama jak długość promienia okręgu o, czyli

$r=\sqrt{10}$  

Zapisujemy równanie okręgu o₁:

$\underline{\underline{o_1:{\left(x-2\right)}^2+{\left(y+1\right)}^2=10}}$  

---

b)

Środek K₁(x,y) okręgu o₁ jest obrazem punktu K(-2,1) w symetrii środkowej względem punktu S(0,4). 

Zatem punkt S(0,4) jest środkiem odcinka KK₁. 

Korzystając ze wzoru na współrzędne środka odcinka dostajemy 

$\left(\frac{-2+x}{2},\frac{1+y}{2}\right)=\left(0,4\right)$  

z równości punktów mamy 

$\frac{-2+x}{2}=0\text{|}\cdot 2\wedge \frac{1+y}{2}=4\text{|}\cdot 2$  

$-2+x=01+y=8$  

$x=2y=7$  

czyli 

$K_1\left(2,7\right)$   

Długość promienia r okręgu o₁ jest taka sama jak długość promienia okręgu o, czyli

$r=\sqrt{10}$  

Zapisujemy równanie okręgu o₁:

$\underline{\underline{o_1:{\left(x-2\right)}^2+{\left(y-7\right)}^2=10}}$  

---

c)

Środek K₁(x,y) okręgu o₁ jest obrazem punktu K(-2,1) w symetrii środkowej względem punktu S(3,0). 

Zatem punkt S(3,0) jest środkiem odcinka KK₁. 

Korzystając ze wzoru na współrzędne środka odcinka dostajemy 

$\left(\frac{-2+x}{2},\frac{1+y}{2}\right)=\left(3,0\right)$  

z równości punktów mamy 

$\frac{-2+x}{2}=3\text{|}\cdot 2\wedge \frac{1+y}{2}=0\text{|}\cdot 2$  

$-2+x=61+y=0$  

$x=8y=-1$  

czyli 

$K_1\left(8,-1\right)$   

Długość promienia r okręgu o₁ jest taka sama jak długość promienia okręgu o, czyli

$r=\sqrt{10}$  

Zapisujemy równanie okręgu o₁:

$\underline{\underline{o_1:{\left(x-8\right)}^2+{\left(y+1\right)}^2=10}}$  

---

d)

Środek K₁(x,y) okręgu o₁ jest obrazem punktu K(-2,1) w symetrii środkowej względem punktu S(5,-7). 

Zatem punkt S(5,-7) jest środkiem odcinka KK₁. 

Korzystając ze wzoru na współrzędne środka odcinka dostajemy 

$\left(\frac{-2+x}{2},\frac{1+y}{2}\right)=\left(5,-7\right)$  

z równości punktów mamy 

$\frac{-2+x}{2}=5\text{|}\cdot 2\wedge \frac{1+y}{2}=-7\text{|}\cdot 2$  

$-2+x=101+y=-14$  

$x=12y=-15$  

czyli 

$K_1\left(12,-15\right)$   

Długość promienia r okręgu o₁ jest taka sama jak długość promienia okręgu o, czyli

$r=\sqrt{10}$  

Zapisujemy równanie okręgu o₁:

$\underline{\underline{o_1:{\left(x-12\right)}^2+{\left(y+15\right)}^2=10}}$