Niech krzywa opisana w zadaniu będzie oznaczona jako l.

a)

Krzywą l wyznacza zbiór punktów płaszczyzny S(x,y) takich, że odległość tych punktów od prostej k: y+1=0 jest taka sama jak od punktu P(0,1), czyli 

$d\left(S,k\right)=\left|PS\right|$  

$\frac{\left|y+1\right|}{\sqrt{0^2+1^2}}=\sqrt{{\left(x-0\right)}^2+{\left(y-1\right)}^2}$   

$\left|y+1\right|=\sqrt{x^2+{\left(y-1\right)}^2}$  

obie strony równania są nieujemne, podnosząc równanie stronami do kwadratu dostajemy 

${\left|y+1\right|}^2={\left(\sqrt{x^2+{\left(y-1\right)}^2}\right)}^2$  

${\left(y+1\right)}^2=x^2+{\left(y-1\right)}^2$  

$y^2+2y+1=x^2+y^2-2y+1$  

$4y=x^2\mid :4$  

$y=\frac{1}{4}{x}^2$  

Odp. krzywa l przedstawia parabolę o równaniu  $y=\frac{1}{4}{x}^2.$  

---

b)

Niech punkt A leży na krzywej l, współrzędne tego punktu możemy zapisać w postaci A(x, ¹/₄x²).

Chcemy żeby odległość punktu A od punktu P(0,1) wynosiła 10, czyli 

$|PA|=10$  

korzystając ze wzoru na długość odcinka mamy 

$\sqrt{{\left(x-0\right)}^2+{\left(\frac{1}{4}{x}^2-1\right)}^2}=10$  

$\sqrt{x^2+{\left(\frac{1}{4}{x}^2-1\right)}^2}=10$  

$\sqrt{x^2+\frac{1}{16}{x}^4-\frac{1}{2}{x}^2+1}=10$

$\sqrt{\frac{1}{16}{x}^4+\frac{1}{2}{x}^2+1}=10$  

obie strony równania są nieujemne, podnosząc równanie stronami do kwadratu dostajemy 

${\left(\sqrt{\frac{1}{16}{x}^4+\frac{1}{2}{x}^2+1}\right)}^2={10}^2$  

$\frac{1}{16}{x}^4+\frac{1}{2}{x}^2+1=100$  

$\frac{1}{16}{x}^4+\frac{1}{2}{x}^2-99=0\mid \cdot 16$  

$x^4+8x^2-1584=0$  

niech 

$t=x^2,t\ge 0$  

wtedy równanie jest postaci

$t^2+8t-1584=0$  

$\Delta =8^2-4\cdot 1\cdot \left(-1584\right)=64+6336=6400$  

$\sqrt{\Delta }=80$  

$t_1=\frac{-8-80}{2}\underset{\text{sprzecznosˊcˊ}}{=-44}<0$  

$t_2=\frac{-8+80}{2}=36$   

czyli 

$t=36$  

wracając do podstawienia mamy 

$x^2=36$  

więc

$x=6\vee x=-6$  

wtedy 

$\{\begin{array}{l}x=6\\ y=\frac{1}{4}\cdot 6^2\end{array}\vee \{\begin{array}{l}x=-6\\ y=\frac{1}{4}\cdot {\left(-6\right)}^2\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}x=6\\ y=\frac{1}{4}\cdot 36\end{array}\{\begin{array}{l}x=-6\\ y=\frac{1}{4}\cdot 36\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}x=6\\ y=9\end{array}\{\begin{array}{l}x=-6\\ y=9\end{array}$  

czyli otrzymaliśmy punkty o współrzędnych 

$\left(6,9\right)\text{lub}\left(-6,9\right)$  

Wiemy, że punkty leżące na krzywej l są równoodległe od prostej k i punktu P(0,1), zatem punkty (6,9) oraz (-6,9) znajdują się w odległości 10 od punktu P(0,1) i prostej k. 

Odp.  $\left(6,9\right)\text{lub}\left(-6,9\right).$