Rysunek pomocniczy 

---

SPOSÓB I. 

Wyznaczamy współczynnik kierunkowy prostej przechodzącej przez punkty A(-5,-2) i B(-1,-4), mamy 

• $a_{AB}=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}=\frac{-4-\left(-2\right)}{-1-\left(-5\right)}=\frac{-2}{4}=-\frac{1}{2}$  

Wyznaczamy współczynnik kierunkowy prostej przechodzącej przez punkty B(-1,-4) i C(3,4), mamy 

• $a_{BC}=\frac{y_C-y_B}{x_C-x_B}=\frac{4-\left(-4\right)}{3-\left(-1\right)}=\frac{8}{4}=2$  

Wyznaczamy współczynnik kierunkowy prostej przechodzącej przez punkty C(3,4) i D(-1,6), mamy 

• $a_{CD}=\frac{y_D-y_C}{x_D-x_C}=\frac{6-4}{-1-3}=\frac{2}{-4}=-\frac{1}{2}$  

Wyznaczamy współczynnik kierunkowy prostej przechodzącej przez punkty A(-5,-2) i D(-1,6), mamy 

• $a_{AD}=\frac{y_D-y_A}{x_D-x_A}=\frac{6-\left(-2\right)}{-1-\left(-5\right)}=\frac{8}{4}=2$  

Zauważmy, że 

$a_{AB}\cdot a_{BC}=a_{CD}\cdot a_{BC}=a_{CD}\cdot a_{AD}=a_{AB}\cdot a_{AD}=-\frac{1}{2}\cdot 2=-1$  

czyli proste

AB i BC,

CD i BC,

CD i AD

oraz

AB i AD 

są prostopadłe.

Otrzymaliśmy więc, że czworokąt ABCD ma wszystkie kąty wewnętrzne proste, czyli ten czworokąt jest prostokątem. 

c.n.d.

---

SPOSÓB II. 

Jeśli przekątne równoległoboku są równej długości, to ten równoległobok jest prostokątem.

Prowadząc obliczenia tak samo jak powyżej mamy  

$a_{AB}=a_{CD}=-\frac{1}{2}\text{i}{a}_{BC}=a_{AD}=2$

czyli proste AB i CD oraz BC i AD są równoległe. 

Oznacza to że czworokąt ABCD ma dwie pary boków równoległych czyli jest równoległobokiem. 

Obliczamy długości przekątnych AC i BD równoległoboku ABCD 

$\left|AC\right|=\sqrt{{\left(3-\left(-5\right)\right)}^2+{\left(4-\left(-2\right)\right)}^2}=\sqrt{8^2+6^2}=\sqrt{64+36}=\sqrt{100}=10$  

$\left|BD\right|=\sqrt{{\left(-1-\left(-1\right)\right)}^2+{\left(6-\left(-4\right)\right)}^2}=\sqrt{0+{10}^2}=\sqrt{100}=10$  

Zatem otrzymaliśmy, że równoległobok ABCD ma przekątne równej długości, czyli jest prostokątem. 

c.n.d.