a)

Rozważamy okrąg 

$o:x^2+y^2=4$  

którego środkiem jest punkt S(0,0) i którego promień jest równy r = 2. 

Chcemy wyznaczyć równanie stycznej

$Ax+By+C=0,A^2+B^2\ne 0$  

do okręgu o, przechodzącej przez punkt A(6,-2). 

Punkt A(6,-2) spełnia równanie stycznej, czyli 

$6A-2B+C=0$  

$C=2B-6A$  

czyli równanie stycznej można zapisać w postaci 

• $Ax+By+2B-6A=0$  

Jeśli ta prosta ma być styczna do okręgu o to odległość środka S(0,0) okręgu od tej prostej musi być być równa długości promienia, czyli 

$\frac{\left|2B-6A\right|}{\sqrt{A^2+B^2}}=2\mid \cdot \sqrt{A^2+B^2}$  

$\left|2B-6A\right|=2\sqrt{A^2+B^2}$  

obie strony równania są nieujemne, podnoszą równanie stronami do kwadratu dostajemy 

${\left(\left|2B-6A\right|\right)}^2={\left(2\sqrt{A^2+B^2}\right)}^2$  

${\left(2B-6A\right)}^2=4\left(A^2+B^2\right)$  

$4B^2-24AB+36A^2=4A^2+4B^2$  

$32A^2-24AB=0$  

$8A\left(4A-3B\right)=0$  

$A=0\vee 4A-3B=0$  

$A=\frac{3}{4}B$  

czyli 

• Dla A=0 mamy 

$Ax+By+2B-6A=0$  

$By+2B=0\mid :B\ne 0$  

$\underline{\underline{y+2=0}}$  

• Dla A = ³/₄ B mamy 

$Ax+By+2B-6A=0$  

$\frac{3}{4}Bx+By+2B-6\cdot \frac{3}{4}B=0$  

$\frac{3}{4}Bx+By-\frac{5}{2}B=0\mid :B\ne 0$  

$\frac{3}{4}x+y-\frac{5}{2}=0\mid \cdot 4$  

$\underline{\underline{3x+4y-10=0}}$  

czyli równanie ogólne stycznej do okręgu o i przechodzącej przez punkt A(6,-2) jest postaci 

$y+2=0\text{lub}3x+4y-10=0$    

---

b)

Rozważamy okrąg 

$o:x^2+y^2=9$  

którego środkiem jest punkt S(0,0) i którego promień jest równy r = 3. 

Chcemy wyznaczyć równanie stycznej

$Ax+By+C=0,A^2+B^2\ne 0$  

do okręgu o, przechodzącej przez punkt A(-5,3). 

Punkt A(-5,3) spełnia równanie stycznej, czyli 

$-5A+3B+C=0$  

$C=5A-3B$  

czyli równanie stycznej można zapisać w postaci 

• $Ax+By+5A-3B=0$  

Jeśli ta prosta ma być styczna do okręgu o to odległość środka S(0,0) okręgu od tej prostej musi być być równa długości promienia, czyli 

$\frac{\left|5A-3B\right|}{\sqrt{A^2+B^2}}=3\mid \cdot \sqrt{A^2+B^2}$  

$\left|5A-3B\right|=3\sqrt{A^2+B^2}$  

obie strony równania są nieujemne, podnoszą równanie stronami do kwadratu dostajemy 

${\left(\left|5A-3B\right|\right)}^2={\left(3\sqrt{A^2+B^2}\right)}^2$  

${\left(5A-3B\right)}^2=9\left(A^2+B^2\right)$  

$25A^2-30AB+9B^2=9A^2+9B^2$  

$16A^2-30AB=0$  

$2A\left(8A-15B\right)=0$  

$A=0\vee 8A-15B=0$  

$A=\frac{15}{8}B$  

czyli 

• Dla A=0 mamy 

$Ax+By+5A-3B=0$   

$By-3B=0\mid :B\ne 0$  

$\underline{\underline{y-3=0}}$  

• Dla A = ¹⁵/₈ B mamy 

$Ax+By+5A-3B=0$  

$\frac{15}{8}Bx+By+5\cdot \frac{15}{8}B-3B=0$  

$\frac{15}{8}Bx+By+\frac{51}{8}B=0\mid :B\ne 0$  

$\frac{15}{8}x+y+\frac{51}{8}=0\mid \cdot 8$  

$\underline{\underline{15x+8y+51=0}}$  

czyli równanie ogólne stycznej do okręgu o i przechodzącej przez punkt A(-5,3) jest postaci 

$y-3=0\text{lub}15x+8y+51=0$    

---

c)

Przekształcamy równanie okręgu do postaci kanonicznej:

$x^2+y^2-6x-4y+3=0$  

$x^2-6x+\underset{=0}{\underbrace{9-9}}+y^2-4y+\underset{=0}{\underbrace{4-4}}+3=0$  

${\left(x-3\right)}^2+{\left(y-2\right)}^2=10$   

którego środkiem jest punkt S(3,2) i którego promień jest równy r = √10. 

Chcemy wyznaczyć równanie stycznej

$Ax+By+C=0,A^2+B^2\ne 0$  

do okręgu o, przechodzącej przez punkt A(-4,3). 

Punkt A(-4,3) spełnia równanie stycznej, czyli 

$-4A+3B+C=0$  

$C=4A-3B$  

czyli równanie stycznej można zapisać w postaci 

• $Ax+By+4A-3B=0$  

Jeśli ta prosta ma być styczna do okręgu o to odległość środka S(3,2) okręgu od tej prostej musi być być równa długości promienia, czyli 

$\frac{\left|3A+2B+4A-3B\right|}{\sqrt{A^2+B^2}}=\sqrt{10}\mid \cdot \sqrt{A^2+B^2}$  

$\left|7A-B\right|=\sqrt{10}\cdot \sqrt{A^2+B^2}$  

obie strony równania są nieujemne, podnoszą równanie stronami do kwadratu dostajemy 

${\left(\left|7A-B\right|\right)}^2={\left(\sqrt{10}\cdot \sqrt{A^2+B^2}\right)}^2$  

${\left(7A-B\right)}^2=10\left(A^2+B^2\right)$  

$49A^2-14AB+B^2=10A^2+10B^2$  

$39A^2-14AB-9B^2=0$  

$39A^2+\underset{=-14AB}{\underbrace{13AB-27AB}}-9B^2=0$  

$13A\left(3A+B\right)-9B\left(3A+B\right)=0$  

$\left(3A+B\right)\left(13A-9B\right)=0$  

$3A+B=0\vee 13A-9B=0$  

$A=-\frac{1}{3}BA=\frac{9}{13}B$  

czyli 

• Dla A=-¹/₃B mamy 

$Ax+By+4A-3B=0$  

$-\frac{1}{3}Bx+By+4\cdot \left(-\frac{1}{3}B\right)-3B=0$  

$-\frac{1}{3}Bx+By-\frac{13}{3}B=0\mid :B\ne 0$  

$-\frac{1}{3}x+y-\frac{13}{3}=0\mid \cdot \left(-3\right)$  

$\underline{\underline{x-3y+13=0}}$  

• Dla A = ⁹/₁₃ B mamy 

$Ax+By+4A-3B=0$  

$\frac{9}{13}Bx+By+4\cdot \frac{9}{13}B-3B=0$  

$\frac{9}{13}Bx+By-\frac{3}{13}B=0\mid :B\ne 0$  

$\frac{9}{13}x+y-\frac{3}{13}=0\mid \cdot 13$  

$\underline{\underline{9x+13y-3=0}}$  

czyli równanie ogólne stycznej do okręgu o i przechodzącej przez punkt A(-4,3) jest postaci 

$x-3y+13=0\text{lub}9x+13y-3=0$    

---

d)

Przekształcamy równanie okręgu do postaci kanonicznej:

$x^2+y^2+6x+2y+5=0$  

$x^2+6x+\underset{=0}{\underbrace{9-9}}+y^2+2y+\underset{=0}{\underbrace{1-1}}+5=0$  

${\left(x+3\right)}^2+{\left(y+1\right)}^2=5$   

którego środkiem jest punkt S(-3,-1) i którego promień jest równy r = √5. 

Chcemy wyznaczyć równanie stycznej

$Ax+By+C=0,A^2+B^2\ne 0$  

do okręgu o, przechodzącej przez punkt A(-2,2). 

Punkt A(-2,2) spełnia równanie stycznej, czyli 

$-2A+2B+C=0$  

$C=2A-2B$  

czyli równanie stycznej można zapisać w postaci 

• $Ax+By+2A-2B=0$  

Jeśli ta prosta ma być styczna do okręgu o to odległość środka S(-3,-1) okręgu od tej prostej musi być być równa długości promienia, czyli 

$\frac{\left|-3A-B+2A-2B\right|}{\sqrt{A^2+B^2}}=\sqrt{5}\mid \cdot \sqrt{A^2+B^2}$  

$\left|-A-3B\right|=\sqrt{5}\cdot \sqrt{A^2+B^2}$  

$\left|-\left(A+3B\right)\right|=\sqrt{5}\cdot \sqrt{A^2+B^2}$  

$\left|A+3B\right|=\sqrt{5}\cdot \sqrt{A^2+B^2}$  

obie strony równania są nieujemne, podnoszą równanie stronami do kwadratu dostajemy 

${\left(\left|A+3B\right|\right)}^2={\left(\sqrt{5}\cdot \sqrt{A^2+B^2}\right)}^2$  

${\left(A+3B\right)}^2=5\cdot \left(A^2+B^2\right)$  

$A^2+6AB+9B^2=5A^2+5B^2$  

$-4A^2+6AB+4B^2=0\mid :2$  

$-2A^2+3AB+2B^2=0$  

$-2A^2\underset{=3AB}{\underbrace{-AB+4AB}}+2B^2=0$  

$-A\left(2A+B\right)+2B\left(2A+B\right)=0$  

$\left(2A+B\right)\left(-A+2B\right)=0$  

$2A+B=0\vee -A+2B=0$  

$A=-\frac{1}{2}BA=2B$  

czyli 

• Dla A=-¹/₂B mamy 

$Ax+By+2A-2B=0$  

$-\frac{1}{2}Bx+By+2\cdot \left(-\frac{1}{2}B\right)-2B=0$  

$-\frac{1}{2}Bx+By-B-2B=0$  

$-\frac{1}{2}Bx+By-3B=0\mid :B\ne 0$  

$-\frac{1}{2}x+y-3=0\mid \cdot \left(-2\right)$  

$\underline{\underline{x-2y+6=0}}$   

• Dla A =2B mamy 

$Ax+By+2A-2B=0$  

$2Bx+By+2\cdot 2B-2B=0$  

$2Bx+By+2B=0\mid :B\ne 0$  

$\underline{\underline{2x+y+2=0}}$  

czyli równanie ogólne stycznej do okręgu o i przechodzącej przez punkt A(-2,2) jest postaci 

$x-2y+6=0\text{lub}2x+y+2=0$     

---

e)

Przekształcamy równanie okręgu do postaci kanonicznej:

$x^2+y^2+10x-6y+30=0$  

$x^2+10x+\underset{=0}{\underbrace{25-25}}+y^2-6y+\underset{=0}{\underbrace{9-9}}+30=0$  

${\left(x+5\right)}^2+{\left(y-3\right)}^2=4$   

którego środkiem jest punkt S(-5,3) i którego promień jest równy r = 2. 

Chcemy wyznaczyć równanie stycznej

$Ax+By+C=0,A^2+B^2\ne 0$  

do okręgu o, przechodzącej przez punkt A(-7,9). 

Punkt A(-7,9) spełnia równanie stycznej, czyli 

$-7A+9B+C=0$  

$C=7A-9B$  

czyli równanie stycznej można zapisać w postaci 

• $Ax+By+7A-9B=0$  

Jeśli ta prosta ma być styczna do okręgu o to odległość środka S(-5,3) okręgu od tej prostej musi być być równa długości promienia, czyli 

$\frac{\left|-5A+3B+7A-9B\right|}{\sqrt{A^2+B^2}}=2\mid \cdot \sqrt{A^2+B^2}$  

$\left|2A-6B\right|=2\cdot \sqrt{A^2+B^2}$  

obie strony równania są nieujemne, podnoszą równanie stronami do kwadratu dostajemy 

${\left(\left|2A-6B\right|\right)}^2={\left(2\cdot \sqrt{A^2+B^2}\right)}^2$  

${\left(2A-6B\right)}^2=4\cdot \left(A^2+B^2\right)$  

$4A^2-24AB+36B^2=4A^2+4B^2$  

$32B^2-24AB=0\mid :8$  

$4B^2-3AB=0$  

$B\left(4B-3A\right)=0$  

$B=0\vee 4B-3A=0$  

$B=\frac{3}{4}A$  

czyli 

• Dla B=0 mamy 

$Ax+By+7A-9B=0$  

$Ax+7A=0\mid :A\ne 0$  

$\underline{\underline{x+7=0}}$  

• Dla B = ³/₄A mamy 

$Ax+By+7A-9B=0$  

$Ax+\frac{3}{4}Ay+7A-9\cdot \frac{3}{4}A=0$  

$Ax+\frac{3}{4}Ay+\frac{1}{4}A=0\mid :A\ne 0$  

$x+\frac{3}{4}y+\frac{1}{4}=0\mid \cdot 4$  

$\underline{\underline{4x+3y+1=0}}$  

czyli równanie ogólne stycznej do okręgu o i przechodzącej przez punkt A(-7,9) jest postaci 

$x+7=0\text{lub}4x+3y+1=0$     

---

f)

Przekształcamy równanie okręgu do postaci kanonicznej:

$x^2+y^2-6x+8y+21=0$  

$x^2-6x+\underset{=0}{\underbrace{9-9}}+y^2+8y+\underset{=0}{\underbrace{16-16}}+21=0$  

${\left(x-3\right)}^2+{\left(y+4\right)}^2=4$   

którego środkiem jest punkt S(3,-4) i którego promień jest równy r = 2. 

Chcemy wyznaczyć równanie stycznej

$Ax+By+C=0,A^2+B^2\ne 0$  

do okręgu o, przechodzącej przez punkt A(5,-1). 

Punkt A(5,-1) spełnia równanie stycznej, czyli 

$5A-B+C=0$  

$C=B-5A$  

czyli równanie stycznej można zapisać w postaci 

• $Ax+By+B-5A=0$  

Jeśli ta prosta ma być styczna do okręgu o to odległość środka S(3,-4) okręgu od tej prostej musi być być równa długości promienia, czyli 

$\frac{\left|3A-4B+B-5A\right|}{\sqrt{A^2+B^2}}=2\mid \cdot \sqrt{A^2+B^2}$  

$\left|-2A-3B\right|=2\cdot \sqrt{A^2+B^2}$  

$\left|-\left(2A+3B\right)\right|=2\cdot \sqrt{A^2+B^2}$  

$\left|2A+3B\right|=2\sqrt{A^2+B^2}$  

obie strony równania są nieujemne, podnoszą równanie stronami do kwadratu dostajemy 

${\left(\left|2A+3B\right|\right)}^2={\left(2\cdot \sqrt{A^2+B^2}\right)}^2$  

${\left(2A+3B\right)}^2=4\cdot \left(A^2+B^2\right)$  

$4A^2+12AB+9B^2=4A^2+4B^2$  

$5B^2+12AB=0$  

$B\left(5B+12A\right)=0$  

$B=0\vee 5B+12A=0$  

$B=-\frac{12}{5}A$  

czyli 

• Dla B=0 mamy 

$Ax+By+B-5A=0$  

$Ax-5A=0\mid :A\ne 0$  

$\underline{\underline{x-5=0}}$  

• Dla B = -¹²/₅A mamy 

$Ax+By+B-5A=0$  

$Ax-\frac{12}{5}Ay-\frac{12}{5}A-5A=0$  

$Ax-\frac{12}{5}Ay-\frac{37}{5}A=0\mid :A\ne 0$  

$x-\frac{12}{5}y-\frac{37}{5}=0\mid \cdot 5$  

$\underline{\underline{5x-12y-37=0}}$  

czyli równanie ogólne stycznej do okręgu o i przechodzącej przez punkt A(5,-1) jest postaci 

$x-5=0\text{lub}5x-12y-37=0$