Dane są punkty...- Zadanie 8.1: Matematyka 3. Zakres rozszerzony

Rozwiązanie

Definicja

Dane są punkty $A (x_{A}, y_{A})$ i $B (x_{B}, y_{B})$ . Wektorem $A B$ nazywamy uporządkowaną parę liczb

$[x_{B} - x_{A}, y_{B} - y_{A}] .$

Wiadomo, że

$A (- 3, 2), B (4, - 1), C (5, 3)$

Współrzędne punktu D oznaczmy przez $D (x_{D}, y_{D})$

Obliczamy:

$A B = [x_{B} - x_{A}, y_{B} - y_{A}] = [4 - (- 3), - 1 - 2] = [7, - 3]$

$C D = [x_{D} - x_{C}, y_{D} - y_{C}] = [x_{D} - 5, y_{D} - 3]$

$D C = [x_{C} - x_{D}, y_{C} - y_{D}] = [5 - x_{D}, 3 - y_{D}]$

Z równości

$A B = C D$

mamy

$[7, - 3] = [x_{D} - 5, y_{D} - 3]$

wówczas

$7 = x_{D} - 5 \land - 3 = y_{D} - 3$

$12 = x_{D} 0 = y_{D}$

czyli

$D (12, 0)$

Z równości

$A B = - C D$

mamy

$[7, - 3] = - [x_{D} - 5, y_{D} - 3]$

$[7, - 3] = [- (x_{D} - 5), - (y_{D} - 3)]$

$[7, - 3] = [5 - x_{D}, 3 - y_{D}]$

wówczas

$7 = 5 - x_{D} \land - 3 = 3 - y_{D}$

$x_{D} = - 2 y_{D} = 6$

czyli

$D (- 2, 6)$

Z równości

$C D = - 2 A B$

mamy

$[x_{D} - 5, y_{D} - 3] = - 2 \cdot [7, - 3]$

$[x_{D} - 5, y_{D} - 3] = [- 2 \cdot 7, - 2 \cdot (- 3)]$

$[x_{D} - 5, y_{D} - 3] = [- 14, 6]$

wówczas

$x_{D} - 5 = - 14 \land y_{D} - 3 = 6$

$x_{D} = - 9 y_{D} = 9$

czyli

$D (- 9, 9)$

Z równości

$A B = 3 D C$

mamy

$[7, - 3] = 3 \cdot [5 - x_{D}, 3 - y_{D}]$

$[7, - 3] = [3 \cdot (5 - x_{D}), 3 \cdot (3 - y_{D})]$

$[7, - 3] = [15 - 3 x_{D}, 9 - 3 y_{D}]$

wówczas

$7 = 15 - 3 x_{D} \land - 3 = 9 - 3 y_{D}$

$3 x_{D} = 83 y_{D} = 12$

$x_{D} = \frac{8}{3} = 2 \frac{2}{3} y_{D} = 4$

czyli

$D (2 \frac{2}{3}, 4)$

Paulina Adamska

Nauczycielka matematyki

Zobacz lekcje, które wyjaśnią temat krok po kroku:

Punkt i wektor w układzie współrzędnych

Premium

10:14

Zobacz lekcję

Dostęp do wszystkich lekcji w planie Premium

Punkt przecięcia prostych i wzajemne położenie dwóch prostych

Premium

15:06

Zobacz lekcję

Dostęp do wszystkich lekcji w planie Premium

Miejsce zerowe i punkty wspólne wykresu funkcji z osiami układu współrzędnych

Premium

11:50

Zobacz lekcję

Dostęp do wszystkich lekcji w planie Premium

Tutaj pojawi się lista Twoich książek

Zaloguj się i zacznij tworzyć ją już teraz.