Rozwiąż nierówność...- Zadanie 7.103: Matematyka 3. Zakres rozszerzony

Rozwiązanie

Rozwiążemy nierówność

$2 sin (π + 2 x) < 2, x \in (- π, \frac{π}{2})$

korzystając ze wzoru sin(𝜋 + 𝛼)=- sin𝛼 mamy

$- 2 sin 2 x < 2 ∣ : (- 2)$

$sin 2 x > - \frac{2}{2}$

użyjemy podstawienia

$t = 2 x$

wówczas nierówność jest postaci

$sin t > - \frac{2}{2}$

W jednym układzie współrzędnych szkicujemy wykresy funkcji

$y = sin t i y = - \frac{2}{2}$

Otrzymujemy

Korzystając z rysunku odczytujemy rozwiązanie nierówności w przedziale o długości 2𝜋, np.

$sin t > - \frac{2}{2} \land t \in ⟨ - \frac{π}{2}, \frac{3 π}{2} ⟩ \Leftrightarrow t \in (- \frac{π}{4}, \frac{5 π}{4})$

czyli w zbiorze R mamy

$t \in (- \frac{π}{4} + 2 k π, \frac{5 π}{4} + 2 k π), k \in Z$

wracając do podstawienia mamy

$2 x \in (- \frac{π}{4} + 2 k π, \frac{5 π}{4} + 2 k π), k \in Z$

czyli

$x \in (- \frac{π}{8} + k π, \frac{5 π}{8} + k π), k \in Z$

Szukamy rozwiązania nierówności w przedziale (-𝜋, ^𝜋/₂)

Zauważmy, że

dla k = -1 otrzymujemy przedział postaci

$(- \frac{9 π}{8}, - \frac{3 π}{8})$

dla k = 0 otrzymujemy przedział postaci

$(- \frac{π}{8}, \frac{5 π}{8})$

zatem rozwiązaniem nierówności w przedziale (-𝜋, ^𝜋/₂) są liczby ze zbioru

$x \in (- π, - \frac{3 π}{8}) \cup (- \frac{π}{8}, \frac{π}{2})$

Rozwiążemy nierówność

$ct g (\frac{3 π}{2} - 3 x) + 1 < 0, x \in (- \frac{π}{2}, π)$

korzystając ze wzoru ctg(3𝜋/2 - 𝛼) = tg𝛼 mamy

$t g 3 x + 1 < 0 ∣ - 1$

$t g 3 x < - 1$

użyjemy podstawienia

$t = 3 x$

wówczas nierówność jest postaci

$t g t < - 1$

W jednym układzie współrzędnych szkicujemy wykresy funkcji

$y = t g t i y = - 1$

Otrzymujemy

Korzystając z rysunku odczytujemy rozwiązanie nierówności w przedziale o długości 𝜋, np.

$t g t < - 1 \land t \in (- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}) \Leftrightarrow t \in (- \frac{π}{2}, - \frac{π}{4})$

czyli w zbiorze R mamy

$t \in (- \frac{π}{2} + k π, - \frac{π}{4} + k π), k \in Z$

wracając do podstawienia mamy

$3 x \in (- \frac{π}{2} + k π, - \frac{π}{4} + k π), k \in Z$

czyli

$x \in (- \frac{π}{6} + \frac{k π}{3}, - \frac{π}{12} + \frac{k π}{3}), k \in Z$

Szukamy rozwiązania nierówności w przedziale (-^𝜋/₂, 𝜋)

Zauważmy, że

dla k = -1 otrzymujemy przedział postaci

$(- \frac{π}{2}, - \frac{5 π}{12})$

dla k = 0 otrzymujemy przedział postaci

$(- \frac{π}{6}, - \frac{π}{12})$

dla k = 1 otrzymujemy przedział postaci

$(\frac{π}{6}, \frac{π}{4})$

dla k = 2 otrzymujemy przedział postaci

$(\frac{π}{2}, \frac{7 π}{12})$

dla k = 3 otrzymujemy przedział postaci

$(\frac{5 π}{6}, \frac{11 π}{12})$

zatem rozwiązaniem nierówności w przedziale (-^𝜋/₂, 𝜋) są liczby ze zbioru

$x \in (- \frac{π}{2}, - \frac{5 π}{12}) \cup (- \frac{π}{6}, - \frac{π}{12}) \cup (\frac{π}{6}, \frac{π}{4}) \cup (\frac{π}{2}, \frac{7 π}{12}) \cup (\frac{5 π}{6}, \frac{11 π}{12})$

Rozwiążemy nierówność

$cos (x + \frac{π}{4}) < 0, 5, x \in ⟨ 0, 2 π ⟩$

użyjemy podstawienia

$t = x + \frac{π}{4}$

wówczas nierówność jest postaci

$cos t < \frac{1}{2}$

W jednym układzie współrzędnych szkicujemy wykresy funkcji

$y = cos t i y = \frac{1}{2}$

Otrzymujemy

Korzystając z rysunku odczytujemy rozwiązanie nierówności w przedziale o długości 2𝜋, np.

$cos t < \frac{1}{2} \land t \in ⟨ 0, 2 π ⟩ \Leftrightarrow t \in (\frac{π}{3}, \frac{5 π}{3})$

czyli w zbiorze R mamy

$t \in (\frac{π}{3} + 2 k π, \frac{5 π}{3} + 2 k π), k \in Z$

wracając do podstawienia mamy

$x + \frac{π}{4} \in (\frac{π}{3} + 2 k π, \frac{5 π}{3} + 2 k π), k \in Z ∣ - \frac{π}{4}$

czyli

$x \in (\frac{π}{12} + 2 k π, \frac{17 π}{12} + 2 k π), k \in Z$

Szukamy rozwiązania nierówności w przedziale <0, 2𝜋>.

Zauważmy, że

dla k = -1 otrzymujemy przedział postaci

$(- \frac{23 π}{12}, - \frac{7 π}{12})$

dla k = 0 otrzymujemy przedział postaci

$(\frac{π}{12}, \frac{17 π}{12})$

dla k = 1 otrzymujemy przedział postaci

$(\frac{25 π}{12}, \frac{41 π}{12})$

zatem rozwiązaniem nierówności w przedziale <0, 2𝜋> są liczby ze zbioru

$x \in (\frac{π}{12}, \frac{17 π}{12})$

Rozwiążemy nierówność

$sin (\frac{π}{6} - x) \geq - \frac{3}{2}, x \in ⟨ - π, 2 π ⟩$

korzystając ze wzoru sin(-𝛼)= -sin𝛼 mamy

$sin (- (x - \frac{π}{6})) \geq - \frac{3}{2}$

$- sin (x - \frac{π}{6}) \geq - \frac{3}{2} ∣ : (- 1)$

$sin (x - \frac{π}{6}) \leq \frac{3}{2}$

użyjemy podstawienia

$t = x - \frac{π}{6}$

wówczas nierówność jest postaci

$sin t \leq \frac{3}{2}$

W jednym układzie współrzędnych szkicujemy wykresy funkcji

$y = sin t i y = \frac{3}{2}$

Otrzymujemy

Korzystając z rysunku odczytujemy rozwiązanie nierówności w przedziale o długości 2𝜋, np.

$sin t \leq \frac{3}{2} \land t \in ⟨ - \frac{3 π}{2}, \frac{π}{2} ⟩ \Leftrightarrow t \in ⟨ - \frac{4 π}{3}, \frac{π}{3} ⟩$

czyli w zbiorze R mamy

$t \in ⟨ - \frac{4 π}{3} + 2 k π, \frac{π}{3} + 2 k π ⟩, k \in Z$

wracając do podstawienia mamy

$x - \frac{π}{6} \in ⟨ - \frac{4 π}{3} + 2 k π, \frac{π}{3} + 2 k π ⟩, k \in Z ∣ + \frac{π}{6}$

$x \in ⟨ - \frac{7 π}{6} + 2 k π, \frac{π}{2} + 2 k π ⟩, k \in Z$

Szukamy rozwiązania nierówności w przedziale <-𝜋, 2𝜋>.

Zauważmy, że

dla k = 0 otrzymujemy przedział postaci

$⟨ - \frac{7 π}{6}, \frac{π}{2} ⟩$

dla k = 1 otrzymujemy przedział postaci

$⟨ \frac{5 π}{6}, \frac{5 π}{2} ⟩$

zatem rozwiązaniem nierówności w przedziale <-𝜋, 2𝜋> są liczby ze zbioru

$x \in ⟨ - π, \frac{π}{2} ⟩ \cup ⟨ \frac{5 π}{6}, 2 π ⟩$

Rozwiążemy nierówność

$t g (\frac{1}{2} x + \frac{π}{6}) \geq 3, x \in (- \frac{π}{2}, \frac{3 π}{2})$

użyjemy podstawienia

$t = \frac{1}{2} x + \frac{π}{6}$

wówczas nierówność jest postaci

$t g t \geq 3$

W jednym układzie współrzędnych szkicujemy wykresy funkcji

$y = t g t i y = 3$

Otrzymujemy

Korzystając z rysunku odczytujemy rozwiązanie nierówności w przedziale o długości 𝜋, np.

$t g t \geq 3 \land t \in (- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}) \Leftrightarrow t \in ⟨ \frac{π}{3}, \frac{π}{2})$

czyli w zbiorze R mamy

$t \in ⟨ \frac{π}{3} + k π, \frac{π}{2} + k π), k \in Z$

wracając do podstawienia mamy

$\frac{1}{2} x + \frac{π}{6} \in ⟨ \frac{π}{3} + k π, \frac{π}{2} + k π), k \in Z ∣ - \frac{π}{6}$

$\frac{1}{2} x \in ⟨ \frac{π}{6} + k π, \frac{π}{3} + k π), k \in Z$

czyli

$x \in ⟨ \frac{π}{3} + 2 k π, \frac{2 π}{3} + 2 k π), k \in Z$

Szukamy rozwiązania nierówności w przedziale (-^𝜋/₂, ^3𝜋/₂)

Zauważmy, że

dla k = -1 otrzymujemy przedział postaci

$⟨ - \frac{5 π}{3}, - \frac{4 π}{3})$

dla k = 0 otrzymujemy przedział postaci

$⟨ \frac{π}{3}, \frac{2 π}{3})$

dla k = 1 otrzymujemy przedział postaci

$⟨ \frac{7 π}{3}, \frac{8 π}{3})$

zatem rozwiązaniem nierówności w przedziale (-^𝜋/₂, ^3𝜋/₂) są liczby ze zbioru

$x \in ⟨ \frac{π}{3}, \frac{2 π}{3})$

Rozwiążemy nierówność

$2 cos (\frac{π}{3} - \frac{2}{3} x) + 1 \geq 0, x \in ⟨ - 2 π, 2 π ⟩$

$2 cos (- (\frac{2}{3} x - \frac{π}{3})) + 1 \geq 0 ∣ - 1$

korzystając ze wzoru cos(-𝛼)= cos𝛼 mamy

$2 cos (\frac{2}{3} x - \frac{π}{3}) \geq - 1 ∣ : 2$

$cos (\frac{2}{3} x - \frac{π}{3}) \geq - \frac{1}{2}$

użyjemy podstawienia

$t = \frac{2}{3} x - \frac{π}{3}$

wówczas nierówność jest postaci

$cos t \geq - \frac{1}{2}$

W jednym układzie współrzędnych szkicujemy wykresy funkcji

$y = cos t i y = - \frac{1}{2}$

Otrzymujemy

Korzystając z rysunku odczytujemy rozwiązanie nierówności w przedziale o długości 2𝜋, np.

$cos t \geq - \frac{1}{2} \land t \in ⟨ - π, π ⟩ \Leftrightarrow t \in ⟨ - \frac{2 π}{3}, \frac{2 π}{3} ⟩$

czyli w zbiorze R mamy

$t \in ⟨ - \frac{2 π}{3} + 2 k π, \frac{2 π}{3} + 2 k π ⟩, k \in Z$

wracając do podstawienia mamy

$\frac{2}{3} x - \frac{π}{3} \in ⟨ - \frac{2 π}{3} + 2 k π, \frac{2 π}{3} + 2 k π ⟩, k \in Z ∣ + \frac{π}{3}$

$\frac{2}{3} x \in ⟨ - \frac{π}{3} + 2 k π, π + 2 k π ⟩, k \in Z ∣ \cdot \frac{3}{2}$

czyli

$x \in ⟨ - \frac{π}{2} + 3 k π, \frac{3 π}{2} + 3 k π ⟩, k \in Z$

Szukamy rozwiązania nierówności w przedziale <-2𝜋, 2𝜋>.

Zauważmy, że

dla k = -1 otrzymujemy przedział postaci

$⟨ - \frac{7 π}{2}, - \frac{3 π}{2} ⟩$

dla k = 0 otrzymujemy przedział postaci

$⟨ - \frac{π}{2}, \frac{3 π}{2} ⟩$

dla k = 1 otrzymujemy przedział postaci

$⟨ \frac{5 π}{2}, \frac{9 π}{2} ⟩$

zatem rozwiązaniem nierówności w przedziale <-2𝜋, 2𝜋> są liczby ze zbioru

$x \in ⟨ - 2 π, - \frac{3 π}{2} ⟩ \cup ⟨ - \frac{π}{2}, \frac{3 π}{2} ⟩$

Paulina Adamska

Nauczycielka matematyki

Zobacz lekcje, które wyjaśnią temat krok po kroku:

Metoda graficzna rozwiązywania równań

Premium

8:44

Zobacz lekcję

Dostęp do wszystkich lekcji w planie Premium

Zadania optymalizacyjne - algebra (2)

Premium

9:18

Zobacz lekcję

Dostęp do wszystkich lekcji w planie Premium

Zadania tekstowe z układami równań (1)

Premium

11:09

Zobacz lekcję

Dostęp do wszystkich lekcji w planie Premium

Tutaj pojawi się lista Twoich książek

Zaloguj się i zacznij tworzyć ją już teraz.