Wyznacz wielomiany P(x) oraz Q(x)...- Zadanie 1.59: Matematyka 3. Zakres rozszerzony

Rozwiązanie

$\frac{P ( x )}{3 x + 1} + \frac{Q ( x )}{x - 2} = \frac{11 x - 1}{3 x ^{2} - 5 x - 2}, x \neq = - \frac{1}{3} \land x \neq = 2$

Wiadomo, że wielomiany P(x) i Q(x) są zerowego stopnia, czyli możemy je zapisać w postaci

$P (x) = p, Q (x) = q, x \in R \ {- \frac{1}{3}, 2}$

Rozpisując lewą stronę równości otrzymujemy

$\frac{P ( x )}{3 x + 1} + \frac{Q ( x )}{x - 2} = \frac{p}{3 x + 1} + \frac{q}{x - 2} = \frac{p \cdot ( x - 2 )}{( 3 x + 1 ) ( x - 2 )} + \frac{q \cdot ( 3 x + 1 )}{( 3 x + 1 ) ( x - 2 )} =$

$= \frac{p x - 2 p + 3 q x + q}{( 3 x + 1 ) ( x - 2 )} = \frac{( p + 3 q ) x - 2 p + q}{3 x ^{2} - 5 x - 2}$

Zatem mamy

$\frac{( p + 3 q ) x - 2 p + q}{3 x ^{2} - 5 x - 2} = \frac{11 x - 1}{3 x ^{2} - 5 x - 2} ∣ \cdot (3 x^{2} - 5 x - 2)$

$(p + 3 q) x - 2 p + q = 11 x - 1$

z równości wielomianów dostajemy układ równań postaci

${p + 3 q = 11 - 2 p + q = - 1$

${p = 11 - 3 q - 2 (11 - 3 q) + q = - 1$

${p = 11 - 3 q 7 q = 21$

${p = 11 - 3 q q = 3$

${p = 2 q = 3$

czyli

$P (x) = 2, Q (x) = 3, x \in R \ {- \frac{1}{3}, 2}$

$\frac{P ( x )}{x - 2} - \frac{Q ( x )}{x - 4} = \frac{2 x ^{2} - 10 x - 2}{x ^{2} - 6 x + 8}, x \neq = 2 \land x \neq = 4$

Wiadomo, że wielomian P(x) jest stopnia pierwszego i wielomian Q(x) jest zerowego stopnia, czyli możemy je zapisać w postaci

$P (x) = a x + b, Q (x) = c, x \in R \ {2, 4}$

Rozpisując lewą stronę równości otrzymujemy

$\frac{P ( x )}{x - 2} - \frac{Q ( x )}{x - 4} = \frac{a x + b}{x - 2} - \frac{c}{x - 4} = \frac{( a x + b ) \cdot ( x - 4 )}{( x - 2 ) ( x - 4 )} - \frac{c ( x - 2 )}{( x - 2 ) ( x - 4 )} =$

$= \frac{a x ^{2} - 4 a x + b x - 4 b}{( x - 2 ) ( x - 4 )} - \frac{c x - 2 c}{( x - 2 ) ( x - 4 )} =$

$= \frac{a x ^{2} - 4 a x + b x - 4 b - c x + 2 c}{( x - 2 ) ( x - 4 )} = \frac{a x ^{2} + ( - 4 a + b - c ) x - 4 b + 2 c}{x ^{2} - 6 x + 8}$

Zatem mamy

$\frac{a x ^{2} + ( - 4 a + b - c ) x - 4 b + 2 c}{x ^{2} - 6 x + 8} = \frac{2 x ^{2} - 10 x - 2}{x ^{2} - 6 x + 8} ∣ \cdot (x^{2} - 6 x + 8)$

$a x^{2} + (- 4 a + b - c) x - 4 b + 2 c = 2 x^{2} - 10 x - 2$

z równości wielomianów dostajemy układ równań postaci

$⎩ ⎨ ⎧ a = 2 - 4 a + b - c = - 10 - 4 b + 2 c = - 2$

$⎩ ⎨ ⎧ a = 2 - 8 + b - c = - 10 - 4 b + 2 c = - 2$

$⎩ ⎨ ⎧ a = 2 b = c - 2 - 4 (c - 2) + 2 c = - 2$

$⎩ ⎨ ⎧ a = 2 b = c - 2 - 2 c = - 10$

$⎩ ⎨ ⎧ a = 2 b = c - 2 c = 5$

$⎩ ⎨ ⎧ a = 2 b = 3 c = 5$

czyli

$P (x) = 2 x + 3, Q (x) = 5, x \in R \ {2, 4}$

$\frac{P ( x )}{4 x + 5} + \frac{Q ( x )}{3 x - 1} = \frac{4 x ^{2} + 21 x + 1}{12 x ^{2} + 11 x - 5}, x \neq = - \frac{5}{4} \land x \neq = \frac{1}{3}$

Wiadomo, że wielomian P(x) jest stopnia zerowego i wielomian Q(x) jest stopnia pierwszego, czyli możemy je zapisać w postaci

$P (x) = a, Q (x) = b x + c, x \in R \ {- \frac{5}{4}, \frac{1}{3}}$

Rozpisując lewą stronę równości otrzymujemy

$\frac{P ( x )}{4 x + 5} + \frac{Q ( x )}{3 x - 1} = \frac{a}{4 x + 5} + \frac{b x + c}{3 x - 1} = \frac{a ( 3 x - 1 )}{( 4 x + 5 ) ( 3 x - 1 )} + \frac{( b x + c ) ( 4 x + 5 )}{( 4 x + 5 ) ( 3 x - 1 )} =$

$= \frac{3 a x - a}{( 4 x + 5 ) ( 3 x - 1 )} + \frac{4 b x ^{2} + 5 b x + 4 c x + 5 c}{( 4 x + 5 ) ( 3 x - 1 )} =$

$= \frac{3 a x - a + 4 b x ^{2} + 5 b x + 4 c x + 5 c}{( 4 x + 5 ) ( 3 x - 1 )} = \frac{4 b x ^{2} + ( 3 a + 5 b + 4 c ) x - a + 5 c}{12 x ^{2} + 11 x - 5}$

Zatem mamy

$\frac{4 b x ^{2} + ( 3 a + 5 b + 4 c ) x - a + 5 c}{12 x ^{2} + 11 x - 5} = \frac{4 x ^{2} + 21 x + 1}{12 x ^{2} + 11 x - 5} ∣ \cdot (12 x^{2} + 11 x - 5)$