a)

Wyznaczymy zbiór wartości funkcji 

$f\left(x\right)=\frac{1}{3}{x}^3-3x^2+9x-7\frac{2}{3},x\in ⟨2,5⟩$  

W przedziale <2, 5> funkcja f jest ciągła, zatem jeśli wyznaczymy wartość najmniejszą (m) tej funkcji i wartość największą (M) to zbiorem wartości funkcji f będzie przedział postaci <m, M>.  

W przedziale (2, 5) funkcja f jest różniczkowalna. 

Wyznaczamy pochodną funkcji f 

• $f{}^{\prime }\left(x\right)=\left[\frac{1}{3}{x}^3-3x^2+9x-7\frac{2}{3}\right]{}^{\prime }=\frac{1}{3}\left(x^3\right){}^{\prime }-3\left(x^2\right){}^{\prime }+9\left(x\right){}^{\prime }-\left(7\frac{2}{3}\right){}^{\prime }=$  

$=\frac{1}{3}\cdot 3x^2-3\cdot 2x+9\cdot 1-0=x^2-6x+9={\left(x-3\right)}^2$  

więc

$f{}^{\prime }\left(x\right)={\left(x-3\right)}^2,x\in \left(2,5\right)$  

Wyznaczamy punkty krytyczne funkcji f. 

Punktami krytycznymi są miejsca zerowe pochodnej, czyli 

$f{}^{\prime }\left(x\right)=0$  

${\left(x-3\right)}^2=0$  

$x-3=0$  

$x=3$  

czyli funkcja f jeden punkt krytyczny: 3. 

Obliczamy wartości funkcji w punkcie krytycznym oraz na krańcach podanych przedziałów. 

• $f\left(2\right)=\frac{1}{3}\cdot 2^3-3\cdot 2^2+9\cdot 2-7\frac{2}{3}=\frac{8}{3}-12+18-7\frac{2}{3}=2\frac{2}{3}+6-7\frac{2}{3}=1$  
• $f\left(3\right)=\frac{1}{3}\cdot 3^3-3\cdot 3^2+9\cdot 3-7\frac{2}{3}=9-27+27-7\frac{2}{3}=1\frac{1}{3}$  
• $f\left(5\right)=\frac{1}{3}\cdot 5^3-3\cdot 5^2+9\cdot 5-7\frac{2}{3}=\frac{125}{3}-75+45-7\frac{2}{3}=41\frac{2}{3}-30-7\frac{2}{3}=4$  

W przedziale <2,5> funkcja f przyjmuje dla argumentu 5 wartość największą równą 4. Natomiast dla argumentu 2 funkcja f przyjmuje wartość najmniejszą, równą 1.  

Otrzymujemy więc, że zbiór wartości funkcji f jest postaci

$Z_w=⟨1,4⟩$  

---

b)

Wyznaczymy zbiór wartości funkcji 

$f\left(x\right)=\frac{1}{3}{x}^3-\frac{1}{2}{x}^2-6x+4\frac{2}{3},x\in \left(-3,2\right)$  

W przedziale (-3, 2) funkcja f jest różniczkowalna. 

Wyznaczamy pochodną funkcji f 

• $f{}^{\prime }\left(x\right)=\left[\frac{1}{3}{x}^3-\frac{1}{2}{x}^2-6x+4\frac{2}{3}\right]{}^{\prime }=\frac{1}{3}\left(x^3\right){}^{\prime }-\frac{1}{2}\left(x^2\right){}^{\prime }-6\left(x\right){}^{\prime }-\left(4\frac{2}{3}\right){}^{\prime }=$  

$=\frac{1}{3}\cdot 3x^2-\frac{1}{2}\cdot 2x-6\cdot 1-0=x^2-x-6$  

więc

$f{}^{\prime }\left(x\right)=x^2-x-6,x\in \left(-3,2\right)$  

Wyznaczamy punkty krytyczne funkcji f. 

Punktami krytycznymi są miejsca zerowe pochodnej, czyli 

$f{}^{\prime }\left(x\right)=0$  

$x^2-x-6=0$  

$\Delta ={\left(-1\right)}^2-4\cdot 1\cdot \left(-6\right)=1+24=25$  

$\sqrt{\Delta }=5$  

$x_1=\frac{1-5}{2}=-2$  

$x_2=\frac{1+5}{2}=3\notin \left(-3,2\right)$  

czyli funkcja f ma jeden punkt krytyczny: -2. 

Obliczamy wartość funkcji w punkcie krytycznym oraz granice funkcji na krańcach przedziału określoności. 

• $\underset{x\to -3^{+}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to -3^{+}}{\lim }\left(\frac{1}{3}{x}^3-\frac{1}{2}{x}^2-6x+4\frac{2}{3}\right)=$  

$=\left[\frac{1}{3}\cdot {\left(-3\right)}^3-\frac{1}{2}\cdot {\left(-3\right)}^2-6\cdot \left(-3\right)+4\frac{2}{3}\right]=9\frac{1}{6}$  

• $f\left(-2\right)=\frac{1}{3}\cdot {\left(-2\right)}^3-\frac{1}{2}\cdot {\left(-2\right)}^2-6\cdot \left(-2\right)+4\frac{2}{3}=-\frac{8}{3}-2+12+4\frac{2}{3}=12$  
• $\underset{x\to 2^{-}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 2^{-}}{\lim }\left(\frac{1}{3}{x}^3-\frac{1}{2}{x}^2-6x+4\frac{2}{3}\right)=\left[\frac{1}{3}\cdot 2^3-\frac{1}{2}\cdot 2^2-6\cdot 2+4\frac{2}{3}\right]=-6\frac{2}{3}$  

W przedziale (-3,2) funkcja f przyjmuje dla argumentu -2 wartość największą równą 12 i nie przyjmuje wartości najmniejszej.

Ponieważ funkcja f jest ciągła oraz 

$\underset{x\to 2^{-}}{\lim }f\left(x\right)<f\left(-2\right)$  

to wartości tej funkcji są większe od -6 ²/₃. 

Zatem zbiór wartości funkcji f jest postaci

$Z_w=(-6\frac{2}{3},12⟩$  

---

c)

Wyznaczymy zbiór wartości funkcji 

$f\left(x\right)=\frac{1}{4}{x}^4-2x^3-2x^2+24x+10,x\in (0,7⟩$  

W przedziale (0, 7) funkcja f jest różniczkowalna. 

Wyznaczamy pochodną funkcji f 

• $f{}^{\prime }\left(x\right)=\left[\frac{1}{4}{x}^4-2x^3-2x^2+24x+10\right]{}^{\prime }=\frac{1}{4}\left(x^4\right){}^{\prime }-2\left(x^3\right){}^{\prime }-2\left(x^2\right){}^{\prime }+24\left(x\right){}^{\prime }+\left(10\right){}^{\prime }=$  

$=\frac{1}{4}\cdot 4x^3-2\cdot 3x^2-2\cdot 2x+24\cdot 1+0=x^3-6x^2-4x+24$  

więc

$f{}^{\prime }\left(x\right)=x^3-6x^2-4x+24,x\in \left(0,7\right)$  

Wyznaczamy punkty krytyczne funkcji f. 

Punktami krytycznymi są miejsca zerowe pochodnej, czyli 

$f{}^{\prime }\left(x\right)=0$  

$x^3-6x^2-4x+24=0$  

$x^2\left(x-6\right)-4\left(x-6\right)=0$  

$\left(x-6\right)\left(x^2-4\right)=0$  

$\left(x-6\right)\left(x-2\right)\left(x+2\right)=0$  

$x=6\vee x=2\vee x=-2\notin \left(0,7\right)$  

czyli funkcja f ma dwa punkty krytyczne: 2 i 6. 

Obliczamy wartości funkcji w punktach krytycznym, w punkcie 7 oraz liczymy granicę na krańcu przedziału określoności. 

• $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\left(\frac{1}{4}{x}^4-2x^3-2x^2+24x+10\right)=10$  
• $f\left(2\right)=\frac{1}{4}\cdot 2^4-2\cdot 2^3-2\cdot 2^2+24\cdot 2+10=4-16-8+48+10=38$  
• $f\left(6\right)=\frac{1}{4}\cdot 6^4-2\cdot 6^3-2\cdot 6^2+24\cdot 6+10=324-432-72+144+10=-26$  
• $f\left(7\right)=\frac{1}{4}\cdot 7^4-2\cdot 7^3-2\cdot 7^2+24\cdot 7+10=\frac{2401}{4}-686-98+168+10=-5\frac{3}{4}$  

W przedziale (0,7> funkcja f przyjmuje dla argumentu 2 wartość największą równą 38 i przyjmuje wartość najmniejszą dla argumentu 6 równą -26.  

Zatem zbiór wartości funkcji f jest postaci

$Z_w=⟨-26,38⟩$  

---

d)

Wyznaczymy zbiór wartości funkcji 

$f\left(x\right)=\frac{1}{4}{x}^4+\frac{1}{3}{x}^3-\frac{5}{2}{x}^2+3x+6,x\in \left(-2,2\right)$  

W przedziale (-2, 2) funkcja f jest różniczkowalna. 

Wyznaczamy pochodną funkcji f 

• $f{}^{\prime }\left(x\right)=\left[\frac{1}{4}{x}^4+\frac{1}{3}{x}^3-\frac{5}{2}{x}^2+3x+6\right]{}^{\prime }=\frac{1}{4}\left(x^4\right){}^{\prime }+\frac{1}{3}\left(x^3\right){}^{\prime }-\frac{5}{2}\left(x^2\right){}^{\prime }+3\left(x\right){}^{\prime }+\left(6\right){}^{\prime }=$  

$=\frac{1}{4}\cdot 4x^3+\frac{1}{3}\cdot 3x^2-\frac{5}{2}\cdot 2x+3\cdot 1+0=x^3+x^2-5x+3$  

więc

$f{}^{\prime }\left(x\right)=x^3+x^2-5x+3,x\in \left(-2,2\right)$  

Wyznaczamy punkty krytyczne funkcji f. 

Punktami krytycznymi są miejsca zerowe pochodnej, czyli 

$f{}^{\prime }\left(x\right)=0$  

$x^3+x^2-5x+3=0$  

$x^3-x^2+2x^2-2x-3x+3=0$  

$x^2\left(x-1\right)+2x\left(x-1\right)-3\left(x-1\right)=0$  

$\left(x-1\right)\underset{\text{(}\Delta =16,x_1=-3,x_2=1\text{)}}{\left(x^2+2x-3\right)}=0$  

$\left(x-1\right)\left(x+3\right)\left(x-1\right)=0$  

${\left(x-1\right)}^2\left(x+3\right)=0$  

$x=1\vee x=-3\notin \left(-2,2\right)$  

czyli funkcja f ma jeden punkt krytyczny: 1. 

Obliczamy wartości funkcji w punktach krytycznych oraz granice funkcji na krańcach przedziału określoności. 

• $\underset{x\to -2^{+}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to -2^{+}}{\lim }\left(\frac{1}{4}{x}^4+\frac{1}{3}{x}^3-\frac{5}{2}{x}^2+3x+6\right)=$  

$=\left[\frac{1}{4}\cdot {\left(-2\right)}^4+\frac{1}{3}\cdot {\left(-2\right)}^3-\frac{5}{2}\cdot {\left(-2\right)}^2+3\cdot \left(-2\right)+6\right]=-8\frac{2}{3}$  

• $f\left(1\right)=\frac{1}{4}+\frac{1}{3}-\frac{5}{2}+3+6=\frac{85}{12}=7\frac{1}{12}$  
• $\underset{x\to 2^{-}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 2^{-}}{\lim }\left(\frac{1}{4}{x}^4+\frac{1}{3}{x}^3-\frac{5}{2}{x}^2+3x+6\right)=$

$=\left[\frac{1}{4}\cdot 2^4+\frac{1}{3}\cdot 2^3-\frac{5}{2}\cdot 2^2+3\cdot 2+6\right]=8\frac{2}{3}$   

Porównując otrzymane wyniki dostajemy, że funkcja f w przedziale (-2, 2) nie przyjmuje wartości najmniejszej ani wartości największej. 

Ponieważ funkcja f jest ciągła oraz 

$\underset{x\to -2^{+}}{\lim }f\left(x\right)<f\left(1\right)$  

oraz 

$\underset{x\to 2^{-}}{\lim }f\left(x\right)>f\left(1\right)$  

to wartości funkcji są większe od -8 ²/₃ i mniejsze od 8 ²/₃. 

Zatem zbiór wartości funkcji f jest postaci

$Z_w=\left(-8\frac{2}{3},8\frac{2}{3}\right)$