Twierdzenie Niech funkcje f i g będą określone w sąsiedztwie punktu x0 oraz                                                                                                          $\underset{x\to x_0}{\lim }f\left(x\right)=a,a\in \mathbb{R},\underset{x\to x_0}{\lim }g\left(x\right)=+\infty$   Wówczas: $\underset{x\to x_0}{\lim }\left[f\left(x\right)+g\left(x\right)\right]=+\infty$   $\underset{x\to x_0}{\lim }\left[f\left(x\right)-g\left(x\right)\right]=-\infty$     $\text{jesˊli}a>0,\text{to}\underset{x\to x_0}{\lim }\left[f\left(x\right)\cdot g\left(x\right)\right]=+\infty$    $\text{jesˊli}a<0,\text{to}\underset{x\to x_0}{\lim }\left[f\left(x\right)\cdot g\left(x\right)\right]=-\infty$

---

a)

Obliczymy granicę 

$\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{x^2+8x+10}{2x+3}$  

Dzielimy licznik i mianownik ułamka przez x i otrzymujemy 

$\frac{x^2+8x+10}{2x+3}=\frac{x+8+\frac{10}{x}}{2+\frac{3}{x}}=\left(x+8+\frac{10}{x}\right)\cdot \frac{1}{2+\frac{3}{x}}$  

Zauważmy, że 

• $\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(x+8+\frac{10}{x}\right)=+\infty$  
• $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{1}{2+\frac{3}{x}}=\frac{1}{2}$  

czyli 

$\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{x^2+8x+10}{2x+3}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\left[\stackrel{\underset{\uparrow }{+\infty }}{\overbrace{\left(x+8+\frac{10}{x}\right)}}\underset{\underset{\frac{1}{2}}{\downarrow }}{\underbrace{\left(\frac{1}{2+\frac{3}{x}}\right)}}\right]=+\infty$  

---

b)

Obliczymy granicę 

$\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{x^2+8x+10}{2x+3}$  

Dzielimy licznik i mianownik ułamka przez x i otrzymujemy 

$\frac{x^2+8x+10}{2x+3}=\frac{x+8+\frac{10}{x}}{2+\frac{3}{x}}=\left(x+8+\frac{10}{x}\right)\cdot \frac{1}{2+\frac{3}{x}}$  

Zauważmy, że 

• $\underset{x\to -\infty }{\lim }\left(x+8+\frac{10}{x}\right)=-\infty$  
• $\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{1}{2+\frac{3}{x}}=\frac{1}{2}$  

czyli 

$\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{x^2+8x+10}{2x+3}=\underset{x\to -\infty }{\lim }\left[\stackrel{\underset{\uparrow }{-\infty }}{\overbrace{\left(x+8+\frac{10}{x}\right)}}\underset{\underset{\frac{1}{2}}{\downarrow }}{\underbrace{\left(\frac{1}{2+\frac{3}{x}}\right)}}\right]=-\infty$  

---

c)

Obliczymy granicę 

$\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{4x^2-7x+15}{2-x}$  

Dzielimy licznik i mianownik ułamka przez x i otrzymujemy 

$\frac{4x^2-7x+15}{2-x}=\frac{4x-7+\frac{15}{x}}{\frac{2}{x}-1}=\left(4x-7+\frac{15}{x}\right)\cdot \frac{1}{\frac{2}{x}-1}$  

Zauważmy, że 

• $\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(4x-7+\frac{15}{x}\right)=+\infty$  
• $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{1}{\frac{2}{x}-1}=-1$  

czyli 

$\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{4x^2-7x+15}{2-x}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\left[\stackrel{\underset{\uparrow }{+\infty }}{\overbrace{\left(4x-7+\frac{15}{x}\right)}}\underset{\underset{-1}{\downarrow }}{\underbrace{\left(\frac{1}{\frac{2}{x}-1}\right)}}\right]=-\infty$  

---

d)

Obliczymy granicę 

$\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{4x^2-7x+15}{2-x}$  

Dzielimy licznik i mianownik ułamka przez x i otrzymujemy 

$\frac{4x^2-7x+15}{2-x}=\frac{4x-7+\frac{15}{x}}{\frac{2}{x}-1}=\left(4x-7+\frac{15}{x}\right)\cdot \frac{1}{\frac{2}{x}-1}$  

Zauważmy, że 

• $\underset{x\to -\infty }{\lim }\left(4x-7+\frac{15}{x}\right)=-\infty$  
• $\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{1}{\frac{2}{x}-1}=-1$  

czyli 

$\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{4x^2-7x+15}{2-x}=\underset{x\to -\infty }{\lim }\left[\stackrel{\underset{\uparrow }{-\infty }}{\overbrace{\left(4x-7+\frac{15}{x}\right)}}\underset{\underset{-1}{\downarrow }}{\underbrace{\left(\frac{1}{\frac{2}{x}-1}\right)}}\right]=+\infty$  

---

e)

Obliczymy granicę 

$\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{5x^4+x^3+x^2-5}{x^2-2x+8}$  

Dzielimy licznik i mianownik ułamka przez x² i otrzymujemy 

$\frac{5x^4+x^3+x^2-5}{x^2-2x+8}=\frac{5x^2+x+1-\frac{5}{x^2}}{1-\frac{2}{x}+\frac{8}{x^2}}=\frac{x^2\left(5+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}-\frac{5}{x^4}\right)}{1-\frac{2}{x}+\frac{8}{x^2}}=$  

$=x^2\cdot \frac{5+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}-\frac{5}{x^4}}{1-\frac{2}{x}+\frac{8}{x^2}}$  

Zauważmy, że 

• $\underset{x\to +\infty }{\lim }{x}^2=+\infty$  
  
  
• $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{5+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}-\frac{5}{x^4}}{1-\frac{2}{x}+\frac{8}{x^2}}=5$  

czyli 

$\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{5x^4+x^3+x^2-5}{x^2-2x+8}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\left[\stackrel{\underset{\uparrow }{+\infty }}{\overbrace{x^2}}\cdot \underset{\underset{5}{\downarrow }}{\underbrace{\left(\frac{5+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}-\frac{5}{x^4}}{1-\frac{2}{x}+\frac{8}{x^2}}\right)}}\right]=+\infty$  

---

f)

Obliczymy granicę 

$\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{5x^4+x^3+x^2-5}{x^2-2x+8}$  

Dzielimy licznik i mianownik ułamka przez x² i otrzymujemy 

$\frac{5x^4+x^3+x^2-5}{x^2-2x+8}=\frac{5x^2+x+1-\frac{5}{x^2}}{1-\frac{2}{x}+\frac{8}{x^2}}=\frac{x^2\left(5+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}-\frac{5}{x^4}\right)}{1-\frac{2}{x}+\frac{8}{x^2}}=$  

$=x^2\cdot \frac{5+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}-\frac{5}{x^4}}{1-\frac{2}{x}+\frac{8}{x^2}}$  

Zauważmy, że 

• $\underset{x\to -\infty }{\lim }{x}^2=+\infty$  
  
  
• $\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{5+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}-\frac{5}{x^4}}{1-\frac{2}{x}+\frac{8}{x^2}}=5$  

czyli 

$\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{5x^4+x^3+x^2-5}{x^2-2x+8}=\underset{x\to -\infty }{\lim }\left[\stackrel{\underset{\uparrow }{+\infty }}{\overbrace{x^2}}\cdot \underset{\underset{5}{\downarrow }}{\underbrace{\left(\frac{5+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}-\frac{5}{x^4}}{1-\frac{2}{x}+\frac{8}{x^2}}\right)}}\right]=+\infty$