a)

Obliczymy granicę 

$\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{2x^2+7x-1}{6x^2-4x+5}$  

Wyłączamy przed nawias w liczniku i mianowniku ułamka x w najwyższej potędze. 

Otrzymujemy 

$\frac{2x^2+7x-1}{6x^2-4x+5}=\frac{x^2\left(2+\frac{7}{x}-\frac{1}{x^2}\right)}{x^2\left(6-\frac{4}{x}+\frac{5}{x^2}\right)}=\frac{2+\frac{7}{x}-\frac{1}{x^2}}{6-\frac{4}{x}+\frac{5}{x^2}}$

zatem 

$\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{2x^2+7x-1}{6x^2-4x+5}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{2+\frac{7}{x}-\frac{1}{x^2}}{6-\frac{4}{x}+\frac{5}{x^2}}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$  

---

b)

Obliczymy granicę 

$\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{6x+5}{-x^2+2x+1}$  

Wyłączamy przed nawias w liczniku i mianowniku ułamka x w najwyższej potędze. 

Otrzymujemy 

$\frac{6x+5}{-x^2+2x+1}=\frac{x^2\left(\frac{6}{x}+\frac{5}{x^2}\right)}{x^2\left(-1+\frac{2}{x}+\frac{1}{x^2}\right)}=\frac{\frac{6}{x}+\frac{5}{x^2}}{-1+\frac{2}{x}+\frac{1}{x^2}}$

zatem 

$\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{6x+5}{-x^2+2x+1}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{\frac{6}{x}+\frac{5}{x^2}}{-1+\frac{2}{x}+\frac{1}{x^2}}=\frac{0}{-1}=0$  

---

c)

Obliczymy granicę 

$\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{1-3x+x^2}{2x^2-4x-9}$  

Wyłączamy przed nawias w liczniku i mianowniku ułamka x w najwyższej potędze. 

Otrzymujemy 

$\frac{1-3x+x^2}{2x^2-4x-9}=\frac{x^2\left(\frac{1}{x^2}-\frac{3}{x}+1\right)}{x^2\left(2-\frac{4}{x}-\frac{9}{x^2}\right)}=\frac{\frac{1}{x^2}-\frac{3}{x}+1}{2-\frac{4}{x}-\frac{9}{x^2}}$

zatem 

$\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{1-3x+x^2}{2x^2-4x-9}=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{\frac{1}{x^2}-\frac{3}{x}+1}{2-\frac{4}{x}-\frac{9}{x^2}}=\frac{1}{2}$  

---

d)

Obliczymy granicę 

$\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{8}{4x^2-7x+15}$  

Dzielimy licznik i mianownik ułamka x w najwyższej potędze.

Otrzymujemy

$\frac{8}{4x^2-7x+15}=\frac{\frac{8}{x^2}}{4-\frac{7}{x}+\frac{15}{x^2}}$

zatem 

$\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{8}{4x^2-7x+15}=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{\frac{8}{x^2}}{4-\frac{7}{x}+\frac{15}{x^2}}=\frac{0}{4}=0$  

---

e)

Obliczymy granicę 

$\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{{\left(2x-1\right)}^2}{{\left(1-3x\right)}^2}=\frac{4x^2-4x+1}{1-6x+9x^2}$  

Wyłączamy przed nawias w liczniku i mianowniku ułamka x w najwyższej potędze. 

Otrzymujemy

$\frac{4x^2-4x+1}{1-6x+9x^2}=\frac{x^2\left(4-\frac{4}{x}+\frac{1}{x^2}\right)}{x^2\left(\frac{1}{x^2}-\frac{6}{x}+9\right)}=\frac{4-\frac{4}{x}+\frac{1}{x^2}}{\frac{1}{x^2}-\frac{6}{x}+9}$

zatem 

$\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{{\left(2x-1\right)}^2}{{\left(1-3x\right)}^2}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{4-\frac{4}{x}+\frac{1}{x^2}}{\frac{1}{x^2}-\frac{6}{x}+9}=\frac{4}{9}$  

---

f)

Obliczymy granicę 

$\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{-{\left(3x+1\right)}^2}{x^2-{\left(4x+2\right)}^2}=\frac{-\left(9x^2+6x+1\right)}{x^2-\left(16x^2+16x+4\right)}=\frac{-9x^2-6x-1}{-15x^2-16x-4}$  

Wyłączamy przed nawias w liczniku i mianowniku ułamka x w najwyższej potędze. 

Otrzymujemy 

$\frac{-9x^2-6x-1}{-15x^2-16x-4}=\frac{x^2\left(-9-\frac{6}{x}-\frac{1}{x^2}\right)}{x^2\left(-15-\frac{16}{x}-\frac{4}{x^2}\right)}=\frac{-9-\frac{6}{x}-\frac{1}{x^2}}{-15-\frac{16}{x}-\frac{4}{x^2}}$

zatem 

$\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{-{\left(3x+1\right)}^2}{x^2-{\left(4x+2\right)}^2}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{-9-\frac{6}{x}-\frac{1}{x^2}}{-15-\frac{16}{x}-\frac{4}{x^2}}=\frac{-9}{-15}=\frac{3}{5}$